找出具有双重for循环的递归算法的时间复杂度

问题描述

我正在尝试为以下上限找到最紧密的上限。但是，我无法获得正确的答案。算法如下：

public staticintrecursiveloopy(int n){
    for(int i = 0; i < n; i++) {
        for(int j = 0; j < n; j++) {
            System.out.println("Hello.");
        }
    } if(n <= 2) {
        return 1;
    } else if(n % 2 == 0) {
        return(staticintrecursiveloopy(n+1));
    } else{
        return(staticintrecursiveloopy(n-2));
    }
}

我试图为此绘制出递归树。我知道算法的每次运行的时间复杂度将是O（n ² ）加上每个递归调用所花费的时间。此外，递归树将具有n个级别。然后，我计算出每个级别花费的总时间：

对于第一个级别，花费的时间为n ² 。对于第二级，由于有两个递归调用，因此花费的时间将为2n ² 。对于第三级，花费的时间将是4n ² ，依此类推，直到n变为

因此，时间复杂度应为n ² *（1 + 2 + 4 + .... + 2 ⁿ ）。 1 + 2 + 4 + .... + 2 ⁿ 是一个几何序列，其总和等于2 ⁿ -1。因此，总时间复杂度应为O（2 ⁿ n ² ）。但是，答案是O（n ³ ）。我在做什么错了？

解决方法

考虑以下片段

for(int i = 0; i < n; i++) {
    for(int j = 0; j < n; j++) {
        System.out.println("Hello.");
    }
}

这不需要任何介绍，它是O（n ² ）

现在考虑以下片段

if(n <= 2) {
    return 1;
} else if(n % 2 == 0) {
    return(staticintrecursiveloopy(n+1));
} else {
    return(staticintrecursiveloopy(n-2));
}

您认为该片段将执行多少次？

如果n%2 == 0，则方法staticintrecursiveloopy将额外执行1次。否则它将减2，因此它将执行n / 2次（如果包含其他条件，则将执行n / 2次）。

因此，方法staticintrecursiveloopy的执行总次数约为n / 2，以复杂度表示时，它变为O（n）。

方法staticintrecursiveloopy在每次迭代中调用一个复杂度为O（n ² ）的零件，因此总时间复杂度变为

O（n）* O（n ² ）= O（n ³ ）。