为什么我们在数学中至少有三个图形定义？

问题描述

定义1-2套和功能

定性蛋白2-1套和1个家庭

定义3-1关系

为什么我们需要这种多样性？这些定义中有些是过时的还是它们各有利弊？

解决方法

无向图和有向图

第三个定义与前两个定义不同，因为它是关于有向图的，而前两个定义是无向图的。我们关心有向图和无向图，因为它们适应于不同的情况并解决了不同的问题。

您可以将有向图和无向图视为两个不同的对象。

通常，无向图的推理相对容易一些，并且大多数情况下，如果有人提到不精确的“图”，则表示无向图。

命名的边和入射函数

前两个定义几乎是等效的。

第一个定义带有（V，E，ѱ），将“名称”赋予顶点（V的元素），并将名称赋予边缘（E的元素），并使用“入射函数”ѱ来告诉您E对应于V的哪个顶点。

第二个定义仅使用（V'，E'），不使用ѱ。我称它们为V'和E'而不是V和E，以区别于第一个定义。此处的顶点具有“名称”，它们是V'的元素；但是边缘实际上并没有单独的名称，并且E'被定义为V的无向对的子集。因此，边缘是V'的无向的元素对。

这是一个图形示例：

根据第一个定义：

• V = {a，b，c，d};
• E = {1,2,3};
• ѱ：E-> {无序对V}
• • 1-> ab
• • 2-> ac
• • 3-> cd。

通过第二个定义：

• V'= {a，b，c，d}
• E'= {ab，ac，cd}。

如您所见，V'= V，E'是E的ѱ图像。

如果您不关心边缘的“名称”，则第二个定义会短一些。但是，您使用的哪一个确实无关紧要；您可能会用一个定义证明的定理将等同于您可以为另一个定义证明的定理。两种定义之间的区别只是“边缘”的含义的集合论的本质：是V的一对元素，还是通过函数映射到V的一对元素的另一个集合的元素？请注意，函数ѱ是两个集合E和E'之间的 bijection ，因此，对于同一集合，实际上E和E'是两个不同的名称。

算法，编程语言和图形表示

如果您必须使用自己喜欢的编程语言使用图形编写算法，则必须决定如何使用变量和数组以及您习惯的所有数据结构来表示图形。

对于顶点，人们通常使用V = {0，1，2，...，n-1}，其中n是顶点数。这很方便，因为这意味着您可以将顶点用作数组的索引。

对于边缘，有时我们使用大小为n*n的 vertex-vertex入射矩阵对E进行编码，在单元格i，j中用1表示顶点i和j之间的边缘，并且单元格i，j中的0表示无边。这是上图的入射矩阵（我将a，b，c，d替换为0,1,3作为顶点的名称）：

  0 1 2 3
0 0 1 1 0
1 1 0 0 0
2 1 0 0 1
3 0 0 1 0

有时我们使用列表数组对E进行编码：大小为n的数组，其中单元格i包含作为顶点i邻居的顶点索引列表。这是同一张图的列表数组：

0: 1,2
1: 0
2: 0,3
3: 2

这两个表示更接近第二个定义，因为边缘没有名称。我们只关心每对顶点是否为边。

最近，我不得不编写一个C ++程序，其中对边缘编号非常重要，因为我希望能够将它们用作矩阵的索引。因此我有V = {0，1，2，...，n-1}; E = {0，1，2，...，m-1};然后使用std::map<int,std::pair<int,int>>将边缘索引映射到成对的顶点索引。该表示更接近您的第一个定义，即{的std::map。请注意，我必须在将边缘索引映射到顶点索引对或将顶点索引对映射到边缘索引之间做出选择。如果我觉得有必要，我什至可以同时使用两者。第一个定义无关紧要，因为ѱ是双射，所以数学家可以毫不费力地使用ѱ及其逆函数ѱ^ -1；但是数据结构std::map不是数学函数，将其求反可能会花费一些时间。

结论

这两个定义是等效的，使用哪个定义都没有关系。但是，如果您需要使用图来编码算法，则需要花一些时间来考虑图的不同表示形式，哪一种将使您的算法最有效。