涉及两个for循环的算法的时间复杂度

问题描述

public static void main(String[] args) {

  Scanner sc = new Scanner(system.in);

  int n = sc.nextInt();
  int m = sc.nextInt();
  int result = 0;

  for (int i=0; i < n; i++) {
    for (int j=m; j > 0; j--)
      result += 1;
    m -= 1;

  }
  System.out.println(result);
}

问题是对还是错的问题。该语句是“当n远大于2 m时，以下程序的时间复杂度为O（n m）”。对还是错？

问题中的时间复杂度是指最坏情况下的时间复杂度。这是我到目前为止所做的：

内部循环运行m次，每次m的值减小1。这样，内部循环的迭代总数为：m + m-1 + m-2 + m-3 + .... + 3 + 2 +1。

我们可以认为这是一个算术序列。

然后，内部循环的迭代总数为：m（m +1）/ 2 =（m ² + m）/ 2。

m达到0后，由于n远远大于2 * m，因此外循环将继续以O（1）时间运行n-m倍。

因此，时间复杂度为：（m ² + m）/ 2 + n-m = O（m ² ）。

这是解决这个问题的正确方法吗？

解决方法

不，那是不正确的。首先，这里没有“最坏情况”或“最好情况”，因为步数完全由n和m决定。

正如您所说，问题是是/否。因此，简单地计算时间复杂度并不是解决此问题的正确方法（顺便说一句，结果不是 O(m^2)-您不能只丢弃n！）。

您的推理直到最后一步都是正确的。如您正确计算的那样，步数为(m^2 - m)/2 + n（简化后）。问题是：在(m^2 - m)/2 + n的假设下，O(mn)是集合n >> 2m的成员吗？

为简单起见，忽略常量，让我们将假设记为不等式：

(m^2 - m)/2 + n < nm (eventually,as n,m grow)

现在两边除以nm会产生相等的不等式

(m - 1)/(2n) + 1/m < 1

根据这个假设，第一项消失了，所以我们剩下1/m < 1，这显然是正确的，随着m的增长。因此，假设是正确的，而答案是肯定的。