问题描述
我正在尝试解决此问题：给定n个节点，我需要插入边以形成拓扑排序的DAG类型的情况。每个节点都应该能够通过1跳或2跳路径（不更长）到达任何下游节点。我最多使用theta（nlogn）边缘来执行此操作。我该怎么办？
n = 3的示例：
给出的线索是使用分而治之。如果存在n个节点，并且假设上半部分的n / 2已经具有此属性，而最后n / 2也具有此属性，那么如何将这两个半部分组合在一起，以便n个节点具有此属性？财产是如果我 和j都属于同一个一半，我们最多可以从i到j跳两跳。 添加theta（n）附加边，以便如果i在上半部而j在下半部中，我们可以 从i到j仅使用两条边。
我该怎么做？我尝试将上半部分的叶子连接到下半部分的每个节点，然后对叶子的祖父母进行相同操作，依此类推。但这使用（n / 4）* n，它是二次方。
解决方法
一个简单的解决方案是从上半部分开始接收节点（一个具有0个向外边缘的节点，如果使用这种方法构建DAG，则应该只有一个），然后从那里添加一个有向边缘。下半年的节点。这等于增加n / 2条边。然后，获取此接收器节点的所有祖先（上半部分中的所有其他节点），并将其边缘添加到接收器节点。这将是另外（n / 2）-1个边缘，总共是线性数量的附加边缘。
根据归纳假设，后半部分和前半部分将已经具有2跳属性。上半部分的所有节点到下半部分的每个节点也将相距2跳。该路径将是从任何前一半节点到原始接收器节点，然后再到后一半中的任何节点。现在，我们有了一个新的DAG，它结合了2个DAG，保留了2跳属性，并具有单个接收器节点。
此算法的分析类似于合并排序。我们将问题分为2个递归子问题，并通过线性步骤组合了结果。这形成了与归并排序相同的递归关系，并为我们提供了总体的登录复杂度。