问题描述
对于给定的M值，该方程如何在数值上求解正E？我在Mathematica中尝试了FindRoot方法，但从未将其收敛到正确的解决方案。在此，M是任何正实数。我的目标是绘制M与E的曲线。
Sqrt[E]*Cos[Sqrt[E]]=-M*Sin[Sqrt[E]]
解决方法
如果您唯一的目标是将M与E作图，请使用
"because the next pointer of node i-1 points to node i+1." 
这是Mathematica的一种似乎有效的方法：
In[37]:= FindRoot[x + 1/10 Tan[x],{x,# + Abs[#]*10^-14,(# + Pi) (1. - 10^-14)},Method -> "Brent"] & /@ Range[-Pi/2,50 Pi,Pi]
Out[37]= {{x -> 0.},{x -> 1.63199},{x -> 4.73351},{x -> 7.86669},{x -> 11.0047},{x -> 14.1442},{x -> 17.2845},{x -> 20.4252},{x -> 23.5662},{x -> 26.7073},{x -> 29.8485},{x -> 32.9898},{x -> 36.1311},{x -> 39.2725},{x -> 42.4139},{x -> 45.5553},{x -> 48.6967},{x -> 51.8382},{x -> 54.9797},{x -> 58.1212},{x -> 61.2627},{x -> 64.4042},{x -> 67.5457},{x -> 70.6872},{x -> 73.8288},{x -> 76.9703},{x -> 80.1119},{x -> 83.2534},{x -> 86.395},{x -> 89.5365},{x -> 92.6781},{x -> 95.8196},{x -> 98.9612},{x -> 102.103},{x -> 105.244},{x -> 108.386},{x -> 111.527},{x -> 114.669},{x -> 117.811},{x -> 120.952},{x -> 124.094},{x -> 127.235},{x -> 130.377},{x -> 133.518},{x -> 136.66},{x -> 139.802},{x -> 142.943},{x -> 146.085},{x -> 149.226},{x -> 152.368},{x -> 155.509}}
从本质上讲，通过替换Sqrt[E] = x，您只需要求解x + M Tan[x] == 0，就可以求解正数M和x。您知道Tan[x]的变化符号是Pi/2 + kPi的每一个倍数。因此，您知道每个]Pi/2 + k Pi,Pi/2 + (k+1) Pi[都有一个根。我们在这里使用布伦特（Brent）方法，因为这可以确保始终在正值和负值之间找到根，并且由于Tan[x]的性质，我们知道靠近相应区间边界的值具有相反的符号。
我们还使用FindRoot代替NSolve，因为NSolve是专为多项式设计的。