一种简单的方法来判断MST是否会降低特定边缘成本是否会改善？

问题描述

fo:region-after是一个无向连通图，所有边上的成本均为正。给定的是边缘G的成本严格超过10。我们需要回答如果e的成本减少10，MST成本是否会提高。

我知道一个解决方案，其中涉及生成仅带有e边的新图。这个简单得多的解决方案出了什么问题： 取cost<cost(e)-10的一个顶点e之一。找到与v相关的最小成本边沿。现在，降低v的成本，并再次找到发生在e上的最小成本优势。如果进行了更改，则意味着v可以找到更好的MST，并且可以降低成本。如果没有，则意味着prim将找到相同的MST，并且成本保持不变。

这种逻辑怎么了？

与Update minimum spanning tree with modification of edge

有关

解决方法

我认为您的解决方案不正确。

考虑下图G =（V，E），V = {a，b，c，d，e}，E = {ab，bc，cd，de，ae，bd}，并且各个权重为{ 5，10，10，5，17}。

通过运行Kruskal或Prim，我们发现我们的MST为{ab，bc，cd，de}，他的体重为30。

现在，让我们将边缘bd的权重从17减少到7，然后再次检查边缘。

运行带有G'的Prim或Kruskal将输出一个重27的MST（实际上，我们有2个这样的MST {ab，bd，de，cd}和{ab，bd，de，bc}）。

但是如果我们使用您的算法，则会得到相同的精确树，因为当我们检查节点b或d时，边缘bd并不是与这些节点之一相邻的最轻的边缘。

,

让G = (V,E)为图表。
定义

其中w(<u,v>)是<u,v>的权重。

引理1
假设G是图，v的顶点是G，e的边缘是G，入射到v。如果 w(e) = C(v)，然后e属于G的某个MST。

的确，如果将C(v)的成本降低e时10的值发生了变化，那么如果e的成本降低了{{1} 10来自引理1。

上半场没事。让我们看第二部分。

如果没有，则意味着prim将找到相同的MST，而成本保持不变。

一般说明
上述引述错误地暗示引理1的逆是正确的（e属于G然后w(e) = C(v)的某个MST），因为它声称如果我们减少e的10和w(e) != C(v)的成本，则保留MST成本，这意味着e不属于G的任何MST。

简短说明：一个反例
让我们G = ({1,2,3,4},{<1,2>,<1,3>,<2,4>,<3,4>})使用权重函数w(<1,2>) = 1,w(<1,3>) = 3,w(<2,4>) = 3,w(<3,4>) = 1,4>) = 12和e = <1,4>。

降低e的成本后，我们知道C(1) = C(4) = 1 != w(e)。提议的算法指出：“ prim将找到相同的MST，而成本保持不变”。

让我们检查一下，当e的费用减少了10时，G的MST费用是否减少了：
在将e的费用减少10之前的MST费用：5
将e的费用减少10后，MST费用为：4

由于MST成本降低了，所以这种说法（引用一）是错误的，所提出的算法不起作用。

注意：无论使用哪种MST算法，该算法都是错误的，因为反证明仅取决于MST属性。