是否可以在仅On<比较的情况下，提取<上针对二分搜索树的有序前序和后序？

问题描述

假设一个具有二元搜索树B，它在具有严格顺序关系<和n个元素的某些域D上不一定是平衡的。

鉴于B提取的前订单项R，后订单项T：

1. 是否可以在不访问<的情况下在O（n）中计算B的有序S？
2. 是否可以仅使用与<的O（n）比较来计算B的有序S？
3. 还可以计算O（n）总数中的S吗？

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_{注意：这是已删除的未答复question 的重新发布。}

解决方法

1。无关联的<

这是不可能的，如Why it is impossible to construct Binary Tree with Pre-Order,Post Order and Level Order traversals given?中所述。简而言之，输入R = cba，T = abc是模棱两可的，并且可能源于这两个树：

    a      a
  /          \
b              b
 \            /
  c          c
S = bca   S = acb

2。 O（n）比较中的顺序

使用<关系，尽管可以产生相同的前序R和后序T，但可以像上面一样突然区分树木。

R = Ca

使用C的{​​{1}}的子节点的任意非空范围，其中C = u ... v（即，范围以u开头，以v结尾），可以得出以下结论：

a

在（1）和（2）中的递归是微不足道的，我们花了O（1）

 (1) a < u        -> a has 1 direct child (to its right) -> all children are greater than a
 (2) v < a        -> a has 1 direct child (to its left)  -> all children are less than a
 (3) otherwise    -> a has 2 direct children

其中X和Y是任意序列。我们可以将其分为递归步骤：

 R = XbYca
 T = abXcY

请注意，这不需要与 R = XbYca T = abXcY / \ R = Xb R = Yc T = bX T = cY 进行比较，但是需要拆分两个范围。由于X和Y的长度不必相同，因此找到分割点要求我们在R中找到b，这对于递归树的每个级别都可以在O（n）中完成。因此，总共需要进行O（n * d）个相等比较，其中<是原始二进制搜索树B（以及反映B的递归树）的深度。

在每个递归步骤中，我们最多使用2个d比较，得出范围的一个元素，因此我们不能使用超过2 * n <个比较（在O（n）中） ）。

3。总共O（n）次有序

在上面给出的算法中，问题是如果不能负担所有元素的查找表，那么找到包含所有子元素的范围的分割点将比在线性时间内更好。

但是，如果在其上定义B的宇宙足够小，从而能够为所有条目创建索引表，则可以在O（n）中预先解析R（例如<）并创建一个像这样的表：

R = xbyca

只有在可行的情况下，才能使用2中描述的算法实现整体O（n）。它占用O（2 ^ D）空间。

是否有可能在O（n）中生成有序S。

我没有这方面的证据，但认为不可能。理由是该问题与比较排序太相似，而 不能比线性节奏更好。

在“ 2”中。我们可以避免线性比较，因为我们可以结合许多相等性检查来利用输入的结构，以至少局部地部分重建二叉搜索树的原始结构。但是，我看不到如何在不到线性时间内提取每个子树的大小。