在GNU科学图书馆multiroot finder中选择起点

我正在使用GNU科学图书馆的多根查找器实现来解决以下非线性方程组中的未知数（x和y）：

但是，关于“起点”我有些困惑：

Solve(const double *x,int maxIter = 0,double absTol = 0,double relTol = 0)找到从点X开始的根；使用迭代次数和公差（如果给定），否则使用默认值可以通过静态方法SetDefault定义的参数值

如何选择起点？

在一维多项式问题中，这是Real-root_isolation的经过充分研究的领域。在两个方面它鲜为人知。

首先请注意，我们可以将方程转换为多项式，取第一个

sqrt[(x-x1)^2 + (y-y1)^2] + s (t2 -t1) = sqrt[(x-x1)^2 + (y-y1)^2]

两边都

[(x-x1)^2 + (y-y1)^2] + 2 sqrt[(x-x1)^2 + (y-y1)^2][s (t2 -t1)] + [s (t2 -t1)]^2 = [(x-x1)^2 + (y-y1)^2]

重新安排

2 sqrt[(x-x1)^2 + (y-y1)^2][s (t2 -t1)] = [(x-x1)^2 + (y-y1)^2] - [(x-x1)^2 + (y-y1)^2] - [s (t2 -t1)]^2

再见

4 [(x-x1)^2 + (y-y1)^2] [s (t2 -t1)]^2 = ([(x-x1)^2 + (y-y1)^2] - [(x-x1)^2 + (y-y1)^2] - [s (t2 -t1)]^2)^2

给我们一个多项式。（注释）

一旦我们有了一组多项式，就可以使用一些代数技术。

我使用的一种技术是将多项式转换为Bernstein polynomials。首先，重新调整您的域，使两个变量都位于[0,1]中。如果m，n是两个多项式的次数，则可以将多项式表示为总和

sum i=0..m sum j=0..n b_ij mCi nCj x^i (1-x)^(n-i) y^j (1-y)^(n-j)

其中mCi，nCj是二项式系数。

这些多项式具有良好的凸性。如果系数b_ij全部为正，则对于[0,1]中的所有x，y，多项式的值将为正。如果系数均为负，则类似。

这使您可以说“该区域没有解决方案”。

因此，解决该问题的策略可能是：

如果您想了解如何构造Berstein多项式的详细信息，可以在A new method for drawing Algebraic Surfaces上阅读我的论文

注意：通过平方，我们实际上得到了我们想要的更多解决方案。在第一个问题中，我们需要平方根，即+ sqrt（A），也有使用其他根-sqrt（A）的解决方案。这使问题比起从两个双曲线的交点得到的四个解决方案要容易一些，我们只有一个分支的交集，所以一个或两个问题的解决方案。

对于您的问题，有一种非常好的简单方法来获得起点之一。

假设s = 0。然后，每个方程将给出与两个点等距的点集。这是一条线，线段的垂直平分线连接了这些点，然后简单地找到了三个垂直平分线的交点。这将是Circumscribed_circle的中心。对于算法来说，这可能就足够了。更简单的是简单地取三点的平均值。

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