问题描述
好吧，这显然不是一个家庭作业问题，但这是事实： 气泡排序算法被称为O（n ^ 2），Ω（n）。 但是，如果将其时间复杂度绘制为图表（平均情况），并尝试对其进行下限限制，则更精确的下限将为Ω（n ^ 2）。但是从上下文来看，我们看到Ω（n）是正确的。那么为什么下限算法的运行时间不起作用？
解决方法
Ω（n）为下限，不必太紧。它只是保证算法不会比线性算法更好。
Ω（1），Ω（log（n））也是冒泡排序执行时间的有效下限。信息不多，但仍然有效。
,我认为您正在混淆一些概念：
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下限与上限：Ω（f（n））是一个下限，O（f（n））是一个上限。
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最佳与最坏情况：除非另有说明，否则Ω（f（n））和O（f（n））均指最坏情况下的运行时间，取决于输入大小。
对于冒泡排序，大小为n的最坏案例输入被保证需花费二次时间，因此冒泡排序为O（n 2 ）和Ω（n 2 ）。
“气泡排序据说是Ω（n）”的原因是很多人都把它弄乱了。
请记住，Ω（f（n））是在f（n）下渐近界定的函数的 set ，当您看到“算法X为Ω（f（n））时， ，将其读为“算法X 的最坏情况运行时间在Ω（f（n））中。”
（但是请注意，德米特里的答案也是正确的。因为ω是一个下限，所以Ω（1），Ω（log n），Ω（n），Ω（n log n）和Ω（n 2 ）全部适用）
,以下陈述都是正确的：
- 对于每个数字n，冒泡排序在长度为n的列表上执行的比较不超过n（n-1）/ 2个比较和n（n-1）/ 2个交换
- 对于每个数字n，都有一个长度为n的列表，在该列表上，冒泡排序正好执行n（n-1）/ 2个比较和n（n-1）/ 2个交换（示例：以相反顺序排序的列表）
- 对于每个数字n，Bubble排序对长度为n的列表进行的比较绝不会少于（n-1）次。
- 对于每个数字n，都有一个长度为n的列表，气泡排序将在该列表上进行正好（n-1）个比较和0次交换（例如：排序列表）
- 对于每个数字n，如果我们采用列表[1,2，...，n]并随机对其进行随机洗净，则冒泡排序的预期交换次数为n（n-1）/ 4（说明：this answer on CS.stackexchange）
结论：如果我们忘记了乘法常数，则最差情况下的运行时间为n ^ 2，气泡排序的最佳情况下的运行时间为n，平均运行时间为n ^ 2。
请注意，“平均运行时间”总是有点模棱两可。为了消除歧义，我在最后一点指出了不同的观点。如果您的随机列表遵循不同的概率分布，那么您将获得不同的结果。特别是，在具有大量重复元素的列表上，冒泡排序将需要较少的交换（也许也不需要进行比较）。但是，如果您不关心确切的乘法常数，那么生成“随机列表”的大多数“合理”方法将导致预期的n ^ 2复杂度。
现在，您的问题可能变为：为什么气泡排序的预期运行时间如此接近其最坏情况下的运行时间，而又远离其最佳情况下的运行时间？
这个问题的答案是：绝大多数排列被“合理地改组”，只有很少一部分排列被“几乎排序”。换句话说，如果您随机地随机排列列表，那么结果将是“随机的”。如果随机播放一副纸牌，则不小心对纸牌进行排序的可能性非常低。
这个问题也具有欺骗性：最坏情况下的比较数是n ^ 2/2；预期的比较次数为n ^ 2/4；比较的最佳情况是n-1。因此，实际上，预期的比较次数几乎是最坏情况和最好情况之间的一半。
关于CS.stackexchange的答案也是一个很好的解释：在列表中的所有成对元素中，我们期望一半成对的相对顺序，一半成对的相反顺序。因此，预期的运行时间恰好是最坏情况下运行时间的一半。