优化组合算法的复杂度 示例

问题描述

我正在努力针对以下问题优化代码：

您会得到N个从1到N的索引框。每个框都包含 没有硬币或一枚硬币。空箱数和 装有一枚硬币的盒子分别用n0和n1表示。你拿 盒子的随机子集，其中每个子集具有相同的 被选择的概率。空集和集本身是 被视为一个子集。

给出n0和n1，求和的总数的概率是多少 随机子集中的硬币是偶数？

约束：N = n0 + n1

示例

1个

• 输入：n0 = 1，n1 = 0
• 输出：1.0
• 说明：有两个子集：[]和[0]。他们两个人的数目都是偶数。

2

• 输入：n0 = 0，n1 = 2
• 输出：0.5
• 说明：有四个子集：[]，[1]，[1]和[1，1]。 []和[1,1]之和是偶数。

到目前为止，我尝试在Python 3.8中实现，但我认为它可以正常工作，但是计算较大的数字需要很长时间。

prob = 0

n0 = 1
n1 = 4

for j in range(0,n1+1):
        if (j % 2 == 0):
            prob += comb(n1,j)

total_prob = (2**n0 * prob) / (2 ** (n0+n1))
total_prob

解决方法

假设您的算法正确，则可以按以下方式解析确定total_prob。

总和：

prob = 0
for j in range(0,n1+1):
        if (j % 2 == 0):
            prob += comb(n1,j)

正在计算二项式系数的偶数项，即：

comb(n1,0) + comb(n1,2) + ... + comb(n1,J)
    where J is even and J>=n1

对于J> n1来说还可以，因为对于J> n1（nCr的定义），comb（n1，J）= 0

这个总和就是source：

prob = 2**(n1 - 1)

用total_prob方程代替prob：

total_prob = (2**n0) *(2**(n1-1)) / (2 ** (n0+n1))
total_prob = 2**(n0 + n1 - 1)/(2**(n0+n1))

total_prob = 0.5  (always)

,

import math

def comb(n,k):  # Calculates the combination based on n and k values
    return math.factorial(n) // math.factorial(n - k) //math.factorial(k)

def question(n0,n1):    # probability that the total number of coins in the random subset is even
    """probability of sums of even / total probability"""
    p = 0
    for i in range(0,n1+1):
        if (i % 2 == 0):
            p += comb(n1,i)

    return  p / (2 ** n1)