问题描述
我在坐标平面上有n个点，形成一个边缘的完整图形权重为abs（x1-x2）+ abs（y1-y2）。我必须找到使用时间复杂度为O（n ^ 2）的Prim算法完成最小生成树的成本，还有更好的方法。
解决方法
我有一个需要证明的想法，但我对此很有信心。
首先，我们假设二维点可以由O（n log n）中的R-Tree进行索引，并且可以平均搜索O（log n）中的最近邻居。
那么（我很确定）可以证明，平面中的每个点在最终的最小生成树中仅会连接到其60°扇形最近邻中的一个或多个。在O（log n）中，对于每个点仅存在6个这些邻居（通过稍微调整R-Tree搜索）。因此，您最终得到的是6n条边的缩小图，可以在O（6n）中运行Prim算法。
好的，那么60°扇形最近的邻居是什么？ -如果您将点周围的空间划分为6个扇形，每个扇形为60°（例如有6片的比萨饼），然后在每个扇形中搜索最近的邻居。
证明：如果在生成的生成树中将点p连接到不在其60°扇区最近邻居中的另一个点q，则可以通过将q连接到适当的60°扇区来缩短生成树- p的最近邻居。
整个运行时将由构建和查询R-Tree O（n log n）来控制。