这些算法中的哪一个需要花费更多时间？

问题描述

我有这些算法，但我没有发现哪一个需要花费更多时间。

O（（n ^ 2）* log（n））

O（n *（2 ^ n））

我计算了这些的日志，但我不知道哪个需要更多时间。

log（（n ^ 2）* log（n））= 2log（n）+ log（log（n））

log（n *（2 ^ n））= log（n）+ n * log（2）

解决方法

第二个，因为：

2^n > n^2

和

n > log(n) 

,

对于n的较小值范围（大约n = 5（〜4.738）到26（〜25.783）），假设自然对数，第一个大于第二个，但大于第二个总是随着n的增加而变得越来越大。

绘制图形可确认这一点，此处使用 Mathematica

：

f1[n_] := Log[n^2]*Log[n]
f2[n_] := Log[n*(2^n)]

Plot[{f1[n],f2[n]},{n,1,50}]

,

您可以计算，简化或简化这些表达式。

..但请稍等片刻，注意，有一个最高阶操作数2 ⁿ ，它以指数方式增长 （对于 n -s足够大）比您拥有的任何其他操作数都快-n ² 或log ₂ n。

因此，对于足够大的输入， O （（n *（2 ⁿ ））会花费更多。

• 输入1→2操作
• 输入2→8次操作
• 输入3→24次操作
• 输入4→64次操作 ...
• 输入10→10240操作

我认为您可以看到图案。

请注意，就渐近分析而言，我们始终对大型输入感兴趣，否则，对于1、2或很小的输入，行为将有所不同。

,

在数学上不足以显示证明，但是仅填写“ n”值将为您提供良好的指示。假设n = 100，对数的底数是10。

# First algorithm
100^2 * log(100) = 10000 * 2 = 20000

# Second algorithm
100 * 2^100 = 100 * 1267650600228229401496703205376 = 126765060022822940149670320537600

我认为总是选择第一个算法应该很明显。