如何检测由于浮点加法和乘法舍入而导致的精度损失？

问题描述

从计算机系统：程序员的角度来看：

具有单精度浮点数

• 表达式(3.14f+1e10f)-1e10f的值为0.0：由于舍入而丢失了值3.14。

• 表达式(1e20f*1e20f)*1e-20f的值为+∞，而1e20f*(1e20f*1e-20f)的表达式为1e20f。

• 如何检测由于浮点加法和乘法舍入而导致的精度损失？

• 下溢与我描述的问题之间的关系和区别是什么？下溢是否仅是由于舍入而导致精度下降的特殊情况，将结果舍入为零？

谢谢。

解决方法

尽管在数学中，实数的加法和乘法是关联运算，但由于精度和范围有限，在浮点类型（例如float）上执行时，这些运算不是关联扩展名。

所以顺序很重要。

考虑示例，数字10000000003.14不能完全表示为32位float，因此(3.14f + 1e10f)的结果将与{{1 }}，是最接近的可表示数字。当然，1e10f会改为产生3.14f + (1e10f - 1e10f)。

请注意，我使用了3.14f后缀，因为在C中，表达式f包含(3.14+1e10)-1e10文字，因此结果的确是double（或更可能是像3.14999）。

在第二个示例中发生了类似的情况，其中3.14已经超出了1e20f * 1e20f的范围（但没有超出float的范围），并且连续的乘法是没有意义的，而{{1}在其他表达式中首先执行的}具有明确的结果（1），并且连续相乘产生正确的答案。

实际上，您采取了一些预防措施

• 使用更广​​泛的类型。除非有其他要求，否则double最适合大多数应用。
• 如果可能，请重新排序操作。例如，如果您必须添加许多术语，并且您知道一些术语小于其他术语，请先添加这些术语，然后再添加其他术语。避免相减相同数量级的数字。通常，评估代数表达式的方法可能比幼稚的方法更为准确（例如，用于多项式评估的霍纳法）。
• 如果您对问题域有某种了解，那么您可能已经知道计算的哪一部分可能存在问题值，并在执行计算之前检查这些值是否大于（或小于）某些限制。
• 尽快检查结果。当您已经有一个无穷大的数值或NaN时，继续进行计算是没有意义的；或者，如果您的目标值根本没有被修改，则继续进行迭代。