问题描述
问题: 给定一组组注册,每个组注册适用于不同数量的人(1-7), 以及一组1-4个座位的座位组(不变,至少相距2m), 我想找到将人员组分配给座位组的最佳方法:
- 人们可能会分成几个座位组(尽管最好不要这样)
- 座位组不能由其他人共享
- (可选)分配应尽量减少“浪费”的座位数,即最大化空座位组中的座位数
- (理想情况下,它应在Google Apps脚本中运行,因此内存和计算复杂度应尽可能小)
首次尝试: 我对决策问题(是否可行?)以及优化问题(请参阅可选优化功能)感兴趣。我已将其建模为SAT问题,但这找不到最佳解决方案。
由于这个原因,我试图将其建模为优化问题。我正在考虑采用多种背包的(远程)变体,但是我还无法命名:
- 项目:座位组(大小->体重)
- 背包:人群(大小->容器大小)
- 约束:合并项目的重量> =容器大小
- 优化:减少项目数量
如您所见,约束和优化与标准问题相比是倒置的。所以我的问题是:我在这里走的正确吗,还是您会以其他方式去做?如果正确,此优化问题是否有名称?
解决方法
您可以将其视为整数线性规划问题,定义如下:
let P = the set of people groups,people group i consists of p_i people;
let T = the set of tables,table j has t_j places;
let x_ij be 1 if people from people group i are placed at table j,0 otherwise
let M be a large penalty factor for empty seats
let N be a large penalty factor for splitting groups
// # of free spaces = # unavailable - # occupied
// every time a group uses more than one table,// a penalty of N * (#tables - 1) is incurred
min M * [SUM_j(SUM_i[x_ij] * t_j) - SUM_i(p_i)] + N * SUM_i[(SUM_j(x_ij) - 1)]
// at most one group per table
s.t. SUM_i(x_ij) <= 1 for all j
// every group has enough seats
SUM_j(x_ij * t_j) = p_i for all i
0 <= x_ij <= 1
尽管这可以最大程度地减少空座位的数量,但不能减少使用的桌子数量或容纳的团体数量。如果您愿意这样做,可以通过为每个转身离开的组增加一个惩罚来扩展目标函数。
ILP很难使用NP,因此如果没有合适的求解器,可能无法通过Google Apps进行运行。我没有经验,所以恐怕无法为您服务。但是有一些方法可以减少搜索空间。
一个就是通过称为column generation的东西。在这里,问题分为两个部分。复杂的主要问题是您的主要研究问题,但它试图从不同的候选分配(或列)中寻找最优值,而不是整个解决方案空间。
然后的目标是定义一个子问题,该子问题将推荐这些新的潜在解决方案,然后将其合并到主问题中。一个好的子问题的力量在于,它应该可以简化为一个简单的模型,例如Knapsack或Dijkstra。