Om + n算法检查有向图是否单边连接

问题描述

给定一个有向图G =（V，E），我如何检查它是否单边连接，即对于任意两对顶点a和b，至少满足以下条件之一：

1. 从a到b之间有一条路径。
2. 从b到a的路径。

解决方法

使用Tarjan's algorithm查找牢固连接的组件。 SCC中的每个节点都可以相互访问，因此就可以到达和到达的节点而言，它们是等效的。将每个SCC折叠为一个顶点，如果原始图是单边的，则生成的DAG将是单边的。

如果DAG是整体排序，即只有一个拓扑顺序，则DAG是单方面的。如果存在从A到B的路径，那么A必须在B之前。如果存在从B到A的路径，那么B必须在A之前。您将不会同时拥有这两个路径，因为该图现在是非循环的。如果A和B之间没有路径，则它们没有顺序，并且该图至少有2个拓扑顺序-一个在B之前具有A，在A之前具有B。

检查总订单数的快速方法是使用Kahn算法进行topological sort，并检查以确保每次迭代的下一个顶点只有一个选择。

Tarjan用于查找SCC，折叠SCC的算法以及Kahn用于拓扑排序的算法都在O（V + E）时间内运行。

,

想法

这个想法是使用SCC（严格连接的组件）和Top Sort。这是一个伪算法：

• 首先找到原始图的SCC。在每个SCC中，都有从一个顶点到另一个顶点的路径。
• 将新发现的SCC图压缩为新图。想法是将属于SCC 1的所有节点视为新图的节点1，依此类推
• 现在，我们需要运行DFS来检查是否只有一个连接的组件。但是我们不能从任何节点运行DFS，因为这是有向图。我们使用top sort来查找拓扑顺序，然后运行DFS来检查是否只有一个组件。如果不止一个，则该图不是单边的。

角落案例

如果最初的原始图是森林（也称为断开连接），则它不是单边的。

复杂度

查找SCC需2 DFS。 热门排序也需要1 DFS。
因此，时间复杂度是您想要的O(V+E)

对此我没有任何正式证据。但这应该可行。让我知道您是否有任何困惑。