问题描述
我必须给出如下算法：
给定一个无向连通图G，给出一种算法，该算法找到两个节点x，y，使其距离至少为图的直径的一半。证明任何索赔。
我假设我必须从任意节点运行BFS并找到其最远的节点才能找到直径。然后找到距离大于直径一半的两个探索节点。 但是我怀疑这是最佳选择，并寻求解决方案。在运行BFS来查找直径时，是否还有其他方法可以同时找到这两个必需的节点？这样复杂度仍然是多项式。 任何指导或提示，将不胜感激！
解决方法
图的直径（我们称其为D）是其任何节点之间的最大距离（=最小跳数）。
选择任何节点并执行BFS，同时为每个节点保留从初始节点开始的跳数。这需要O（V），因为您将一次访问所有节点。请注意，此number of hops也是shortest distance to v from the root-我将其称为d(root,v)。
现在，以从根开始跳数最多的叶子z为例。恭喜，d(root,z) >= D/2，因为
引理：对于直径为x的连通图中的任何节点D，必须存在一个至少为{{1}的节点y }。
证明：如果不是这样，则将存在某个节点D/2，因此对于所有x，y（带有{{1 }}。但是，然后，通过d(x,y) = D/2 - k <= D/2，我们最多可以找到k>=1中从任何节点到所有其他节点的路径-因此，图的直径不能为x，而是{{1 }}。
那实际上是一个棘手的问题，但是我想我明白了。有趣的是，您的部分错误解决方案使我走上了正确的道路。
让我们在这里复制一些定义：
- 图中两个顶点之间的距离是最短路径中的边数
- 顶点
v的偏心度是v与任何其他顶点之间的最大距离 - 图形的直径
d是图形中任何顶点的最大偏心率。也就是说，d是任何一对顶点之间的最大距离
真正的问题是实际找到直径，这并非易事。要找到直径，您不能仅选择任何节点并运行BFS-在这种情况下，您只能找到与该节点具有最大距离（偏心距）的节点，但直径不是。要真正找到直径，您必须在每个节点上都运行BFS（=偏心率），并且获得的最大距离是直径（有一些更好的算法，但正如我所说，这不是一件容易的事）。
但是！您根本不必知道直径。如果您实际上是从随机节点运行BFS，并且发现距离（偏心距）最大的节点-这就是您算法的解决方案。 x将是您的起始节点，y将是距离最大的节点。
为什么？如果您想象这样的超级简单图
您可以看到直径在节点1和节点4之间。因此，无论从哪个点运行BFS，该点都必须位于中间（这意味着直径为直径的一半）或不位于中间。中间，然后是距离最大的节点，其距离必须甚至大于直径的一半。
甚至更复杂的图也不会改变事实
如果选择6或7，则它的直径路径不完全正确（因为最大距离在1-2-3-4-5之间），但这意味着您可以获得更大的距离，这对于您的任务来说是很好的
结果：从随机节点运行BFS，当它结束时，以离起始节点最大的距离（=找到偏心率并记住最远的节点），起始节点和“结束”节点为(x,y)
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