阿格达Agda：使用`with`来证明`Vec`last`

问题描述

我正在尝试证明以下说法

vecNat : ∀ {n} (xs : Vec ℕ n) → last (xs ∷ʳ 1) ≡ 1

但是我对(x ∷ xs)的情况感到困惑。

vecNat5 : ∀ {n} (xs : Vec ℕ n) → last (xs ∷ʳ 1) ≡ 1
vecNat5 []       = refl
vecNat5 (x ∷ xs) = {!  0!}

目标是

?0 : last ((x ∷ xs) ∷ʳ 1) ≡ 1

我首先使用begin

vecNat5 : ∀ {n} (xs : Vec ℕ n) → last (xs ∷ʳ 1) ≡ 1
vecNat5 []       = refl
vecNat5 (x ∷ xs) =
  begin
    last ((x ∷ xs) ∷ʳ 1)
  ≡⟨⟩
    1
  ∎

但出现此错误：

1 !=
(last (x ∷ (xs ∷ʳ 1))
 | (initLast (x ∷ (xs ∷ʳ 1)) | initLast (xs ∷ʳ 1)))
of type ℕ
when checking that the expression 1 ∎ has type
last ((x ∷ xs) ∷ʳ 1) ≡ 1

所以我看了last中的agda-stdlib/src/Data/Vec/Base.agda的定义

last : ∀ {n} → Vec A (1 + n) → A
last xs         with initLast xs
last .(ys ∷ʳ y) | (ys,y,refl) = y

并注意到with子句，以为我会尝试使用with进行证明。 我还在https://agda.readthedocs.io/en/v2.6.1.1/language/with-abstraction.html?highlight=with#generalisation中看到了一个使用filter的证明示例（涉及with）。

所以我想尝试一下

vecNat : ∀ {n} (xs : Vec ℕ n) → last (xs ∷ʳ 1) ≡ 1
vecNat []       = refl
vecNat (x ∷ xs) with last (xs ∷ʳ 1)
...                 | r = {!  0!}

我达到目标：

?0 : (last (x ∷ (xs ∷ʳ 1))
     | (initLast (x ∷ (xs ∷ʳ 1)) | initLast (xs ∷ʳ 1)))
    ≡ 1

我对如何前进这里感到困惑。还是我开始的方向错误？

谢谢！

编辑

当我尝试

vecNat : ∀ {n} (xs : Vec ℕ n) → last (xs ∷ʳ 1) ≡ 1
vecNat []                               = refl
vecNat (x ∷ xs)         with initLast (xs ∷ʳ 1)
...                         | (xs,x,refl) = ?

我得到：

I'm not sure if there should be a case for the constructor refl,because I get stuck when trying to solve the following unification
problems (inferred index ≟ expected index):
  xs ∷ʳ 1 ≟ xs₁ ∷ʳ 1
when checking that the pattern refl has type xs ∷ʳ 1 ≡ xs₁ ∷ʳ 1

不太清楚为什么现在有xs₁，为什么不只是xs

解决方法

这是一个可能的解决方案，我将您的1更改为任何a，并使向量的类型通用：

首先，一些进口商品：

module Vecnat where

open import Data.Nat
open import Data.Vec
open import Relation.Binary.PropositionalEquality
open import Data.Product

然后是一个简单但非常重要的属性，该属性指出在列表的开头添加元素不会更改其最后一个元素：

prop : ∀ {a} {A : Set a} {n x} (xs : Vec A (suc n)) → last (x ∷ xs) ≡ last xs
prop xs with initLast xs
... | _,_,refl = refl

最后是您要寻找的证明：

vecNat5 : ∀ {a} {A : Set a} {l n} (xs : Vec A n) → last (xs ∷ʳ l) ≡ l
vecNat5 [] = refl
vecNat5 (_ ∷ xs) = trans (prop (xs ∷ʳ _)) (vecNat5 xs)