C ++：fibonacci的三种递归实现时间/空间复杂度是多少？

问题描述

我编码了斐波那契数列的三个版本，但我不确定它们的时间/空间复杂度（以及原因）：

变体1：头部递归

 int fibonacci_h(int n) {
  if (n == 1 || n == 2) {
    return 1;
  }
  return fibonacci_h(n - 1) + fibonacci_h(n - 2);
}

变体2：尾递归

int fibonacci_t(int n,int s_last = 0,int last = 1) {
  if (n == 1) {
    return last;
  }
  return fibonacci_t(n - 1,last,s_last + last);
}

变体3：具有缓存的头部递归

int fibonacci_hash(int n,unordered_map<int,int>* fib_hash = new unordered_map<int,int>{{1,1},{2,1}}) { 
  if((*fib_hash).find(n)!=((*fib_hash).end())){
    return  (*fib_hash)[n];
  }
  int result = fibonacci_hash(n - 1,fib_hash) + fibonacci_hash(n - 2,fib_hash);
  (*fib_hash)[n] = result;
  return result;
} 

用法

int main() {
  int n = 10;
  cout << fibonacci_h(n) << endl;
  cout << fibonacci_t(n) << endl;
  cout << fibonacci_hash(n) << endl;
} // Output: 55

非常感谢！

解决方法

一个进行简单递归的人（您称其为头递归）是指数O（2 ^ n）。其他两个是O（n）。备忘一和尾递归一都是O（n）空间。前者的哈希表大小为O（n），后者的调用堆栈深度为O（n），而没有尾递归优化。通过尾部递归优化，该代码基本上可以编译为O（n）时间和O（1）空间的迭代版本。

,

我也提到过this answer-您的“头部”版本的时间复杂度为Θ（（（1 + sqrt（5））/ 2）^ n）〜=Θ（1.618 ^ n）。这与golden ratio有关。

渐近地，（a + b）/ a = a / b，即1 + b / a = a / b; （1 + sqrt（5））/ 2是该方程式的解。显然，这也是自然界中的海螺特征。

“头部”版本的空间复杂度为Θ（n），因为这由递归的最大 depth 决定（每个级别的Deep都会添加另一个恒定数量的局部变量和堆栈信息）

_{我忽略了成为单个整数的log（n）位。也就是说，如果您想超级学究，实际上应该将所有内容乘以log（n）时间。}