对于已知的解析函数，高斯正交是否总是一个好的选择？

问题描述

高斯积分的局限性是什么？我知道，例如，如果要集成一个数据集，高斯求积法将不是最佳选择，但是如果我从分析上知道函数，有什么大的限制吗？在WolframMathWorld上说，对于已知的解析函数，高斯总是比牛顿-考特斯正交好，即使对于更复杂的函数也总是如此吗？

最近几天我在搜索很多东西。由于我主要解决物理问题，因此我始终知道要集成的函数的解析形式。在学校，他们更多地关注牛顿-科茨公式，但我认为它太慢了。最近，我尝试对高斯-勒根德勒（Gauss-Legendre）求积分，以集成涉及多项式，指数函数和第二种经过修饰的贝塞尔函数的函数。我将结果与一些Newton-Cotes公式进行了比较，它看起来不错，并且速度更快，但是我仍然不知道我是否总是可以信赖高斯正交，尤其是对于更复杂的函数，还是会出现一段时间会让我大失所望？

还有一个问题，使用特定的高斯正交有什么好处吗？例如高斯-拉格瑞（Gauss-Laguerre），还是要使用积分极限变化并使用高斯-勒根德（Gauss-Legendre）求积得到相同的结果？

解决方法

高斯积分的定义特征是它精确地将多项式积分到给定的度数。然后的想法是，对于“接近”多项式的函数，它也可能做得很好。程度越高，该方法将具有尖锐特征的功能集成得越好。但是，如果您的函数具有不连续性，极点，高度振荡或在其他方面与多项式不同，那么高斯正交将失败。

如果您的函数可以切成看起来像多项式的部分-对您有好处！您只需将高斯求积应用于这些部分。 （自适应积分器就是这样做的。）

例如，Gauss-Laguerre，还是要通过改变积分极限并使用Gauss-Legendre求积得到相同的结果？

同样，“高斯”实际上仅表示“完全达到一定的多项式”。 Legendre和Laguerre集成了不同类型的功能。埃尔米特是另一种类型。