问题描述
免责声明：我是一个完全的业余爱好者，没有经过正式的培训，只是教了一些C＃和Python
有47个插槽。每个项目都必须填写一项。
这些插槽分为8组。
项目归为相同的8组。
每个插槽只能由同一组中的一个项目填充。
同一项目可用于填充多个插槽。
item ("name","group","stat1","stat2","stat3",...,"stat9")
exampleItem (exampleName,groupA,3,8,19,431)
slot1 (1,groupC)
每个插槽中都装有一个物品（遵循上述规则）。
然后将每个不同的统计信息相加。
stat1Total=item1(stat1)+item2(stat1)+item3(stat1)+...+item47(stat1)
目标是：
-每个插槽都填有相应组的项目。 （没有空插槽）
-具有stat1Total，stat2Total和stat3Total达到一定量（stat1Goal，stat2Goal，stat3Goal）
-让stat1Total，stat2Total和stat3Total越少越少
-最大化每个其他statTotal的权重
输出满足上述目标的最佳项目组合。 （如果2个或更多组合同样是最佳组合，请全部输出。
我试图仅搜索所有可能的组合以获得最佳输出，但是总的来说，这总计为2.16x10 ^ 16种可能的组合，所以我认为这不是可行的。
现在我不知道如何解决这个问题，而且我对整数编程的了解越多，我就越困惑。
为说明这个问题，我将举一个简化的示例，其中包含3个插槽，2个组和5个项目：
SlotA，SlotB和SlotC必须分别填充5个项目之一。
插槽A和插槽B属于组Group1，而插槽C属于组2。
这些项目分为相同的组。因此，我们有属于组1的Item1，Item2和Item3，以及属于组2的Item4和Item5。
这意味着SlotA和SlotB只能由Item1，Item2和Item3填充。您可以想象插槽是不同形状的孔，而形状适合这些孔的项目。您不能将星形钉插入方孔中，也不能将Item5插入SlotB中，因为它不合适。
商品本身具有不同的统计信息。在此示例中，我们假设每个项目仅具有其所属的组和2个统计信息：StatDark，StatLight。这些可以取0到10之间的整数值。
Item1(Group1,StatDark=3,StatLight=5)
Item2(Group1,StatDark=7,StatLight=1)
Item3(Group1,StatDark=2,StatLight=5)
Item4(Group2,StatDark=1,StatLight=6)
Item5(Group2,StatLight=5)
此示例的目标是：
-在遵守分组规则的同时在每个广告位中填充一个项目
-使所有选定项目中所有StatDark的总和等于或大于9
-最小化StatDark高于9（每个StatDark高于9都是无用和浪费的）
-最大化所有选定项目中所有StatLight的总和
在这种情况下，最佳解决方案是：
广告位A和广告位B：项目2和项目3
SlotC：Item4
以下是此示例的完整表链接：https://imgur.com/MH80G3O
我希望这个例子可以使问题更容易理解。
解决方法
数学模型
我要介绍一个二进制变量：
x[i,j] = 1 if item i is assigned to slot j
0 otherwise
这是我们的第一个问题：不允许使用许多（i，j）组合。智能模型将尝试不生成禁止的组合。因此，我们需要实现一个稀疏变量，而不是一个完全分配的变量。仅当x[i,j]为真时，我们才希望分配和使用allowed(i,j)。
此外，引入一个连续变量xstat[s]来计算每个统计信息的总值。
有了这个，我们就可以写下约束：
sum( i | allowed(i,j),x[i,j] ) = 1 for all slots j (exactly one item in each slot)
xstat[s] = sum( (i,j) | allowed(i,j] * stat[i,s]) (calculate total stats)
xstat['StatDark'] >= 9
目标是两个目标的加权总和：
minimize xstat['StatDark'] - 9
maximize xstat['StatLight']
所以我们这样做：
maximize -w1*(xstat['StatDark'] - 9) + w2*xstat['StatLight']
用于用户提供的权重w1和w2。
这两个问题使问题变得更加复杂。此外，我们需要对数据做一些工作，以使其适合用于优化模型。
Python代码
import pandas as pd
import pulp as lp
from io import StringIO
#----------------------------------------
# raw data
#----------------------------------------
itemData = pd.read_table(StringIO("""
Item Group StatDark StatLight
Item1 Group1 3 5
Item2 Group1 7 1
Item3 Group1 2 5
Item4 Group2 1 6
Item5 Group2 2 5
"""),sep="\s+")
slotData = pd.read_table(StringIO("""
Slot Group
SlotA Group1
SlotB Group1
SlotC Group2
"""),sep='\s+')
# minimum total of Dark
minDark = 9
# stats
stat = ['StatDark','StatLight']
# objective weights
# we have two objectives and there are trde offs between them.
# here we use a simple weighted sum approach. These are the weights.
w = {'StatDark':0.3,'StatLight':0.7}
#----------------------------------------
# data prep
#----------------------------------------
# join on Group
# we need to know which (Item,Slot) combinations are allowed.
merged = pd.merge(itemData[['Item','Group']],slotData,on='Group').set_index(['Item','Slot'])
items = itemData['Item']
slots = slotData['Slot']
# we will use the convention:
# i : items
# j : slots
# s : stats
# stat values
# easy lookup of statv[(i,s)]
itemData = itemData.set_index('Item')
statv = {(i,s):itemData.loc[i,s] for i in items for s in stat}
#----------------------------------------
# MIP model
#----------------------------------------
# x[(i,j)] = 1 if item i is assigned to slot j
# 0 otherwise
# only use combinations (i,j) that are allowed
x = lp.LpVariable.dicts('x',[(i,j) for i,j in merged.index],cat='Binary')
# xstat[stat] = total accumulated values
xstat = lp.LpVariable.dicts('xstat',[s for s in stat],cat='Continuous',lowBound = 0)
prob = lp.LpProblem("assignItemsToSlots",lp.LpMaximize)
# objective: weighted sum
#----------
# 1. minimize statDark exceeding minDark
# 2. maximize statLight
prob += -w['StatDark']*(xstat['StatDark'] - minDark) + w['StatLight']*xstat['StatLight']
# constraints
# -----------
# each slot much have exactly one item
# (but the same item can go to different slots)
for j in slots:
prob += lp.lpSum([x[(i,j)] for i,jj in merged.index if jj==j]) == 1
# minimum total value for dark
prob += xstat['StatDark'] >= minDark
# calculate stat totals
for s in stat:
prob += xstat[s] == lp.lpSum([x[(i,j)]*statv[i,s] for i,j in merged.index])
#----------------------------------------
# solve problem
#----------------------------------------
prob.solve()
# to show the log use
# solve(pulp.PULP_CBC_CMD(msg=1))
print("Status:",lp.LpStatus[prob.status])
print("Objective:",lp.value(prob.objective))
#----------------------------------------
# solution
#----------------------------------------
assigned = []
for i,j in merged.index:
if lp.value(x[(i,j)]) > 0.5:
assigned += [[i,j]]
assigned = pd.DataFrame(assigned,columns=['item','slot'])
print(assigned)
讨论
表merged如下：
Item Slot Group
-----------------------
Item1 SlotA Group1
SlotB Group1
Item2 SlotA Group1
SlotB Group1
Item3 SlotA Group1
SlotB Group1
Item4 SlotC Group2
Item5 SlotC Group2
Item，Slot列为我们提供了允许的组合。
字典statv提供了方便的数据结构来访问统计信息：
{('Item1','StatDark'): 3,('Item1','StatLight'): 5,('Item2','StatDark'): 7,'StatLight'): 1,('Item3','StatDark'): 2,('Item4','StatDark'): 1,'StatLight'): 6,('Item5','StatLight'): 5}
生成的MIP模型如下：
assignItemsToSlots:
MAXIMIZE
-0.3*xstat_StatDark + 0.7*xstat_StatLight + 2.6999999999999997
SUBJECT TO
_C1: x_('Item1',_'SlotA') + x_('Item2',_'SlotA') + x_('Item3',_'SlotA') = 1
_C2: x_('Item1',_'SlotB') + x_('Item2',_'SlotB') + x_('Item3',_'SlotB') = 1
_C3: x_('Item4',_'SlotC') + x_('Item5',_'SlotC') = 1
_C4: xstat_StatDark >= 9
_C5: - 3 x_('Item1',_'SlotA') - 3 x_('Item1',_'SlotB')
- 7 x_('Item2',_'SlotA') - 7 x_('Item2',_'SlotB') - 2 x_('Item3',_'SlotA')
- 2 x_('Item3',_'SlotB') - x_('Item4',_'SlotC') - 2 x_('Item5',_'SlotC')
+ xstat_StatDark = 0
_C6: - 5 x_('Item1',_'SlotA') - 5 x_('Item1',_'SlotB') - x_('Item2',_'SlotA')
- x_('Item2',_'SlotB') - 5 x_('Item3',_'SlotA') - 5 x_('Item3',_'SlotB')
- 6 x_('Item4',_'SlotC') - 5 x_('Item5',_'SlotC') + xstat_StatLight = 0
VARIABLES
0 <= x_('Item1',_'SlotA') <= 1 Integer
0 <= x_('Item1',_'SlotB') <= 1 Integer
0 <= x_('Item2',_'SlotA') <= 1 Integer
0 <= x_('Item2',_'SlotB') <= 1 Integer
0 <= x_('Item3',_'SlotA') <= 1 Integer
0 <= x_('Item3',_'SlotB') <= 1 Integer
0 <= x_('Item4',_'SlotC') <= 1 Integer
0 <= x_('Item5',_'SlotC') <= 1 Integer
xstat_StatDark Continuous
xstat_StatLight Continuous
解决方案
解决方案如下：
Status: Optimal
Objective: 8.099999999999998
item slot
0 Item2 SlotB
1 Item3 SlotA
2 Item4 SlotC