R上的简单高斯过程仿真

问题描述

如何使用均值函数X(t),t = 1,. . .,200模拟高斯过程m(t) = 0和 协方差函数r(h) = Cov(t,t + h) = exp(-|h|)。我知道这个过程有时称为 Ornstein-Uhlenbeck过程，但如何绘制模拟过程。

感谢您的期待

解决方法

按照Wikipedia的定义，Ornstein–Uhlenbeck过程由以下随机微分方程定义： 是维纳过程，它的特性之一是具有高斯增量，即

上述等式可以按以下方式离散化： 由于维纳过程的高斯增量属性，我们得到了。这意味着可以使用sqrt(dt)*rnorm(1)

生成增量值

我在R中编码了以下函数，该函数采用时间向量，过程的平均值，标准差和theta的值。

simulate <- function(t,mean=0,std=1,x0=mean,theta=1,number.of.points=length(t)){
  # calculate time differences
  dt <- diff(t)
  X <- vector("numeric",length=number.of.points)
  X[1] <- x0
  for(i in 1:(number.of.points-1)){
    X[i+1] <- X[i] + theta * (mean-X[i])*dt[i] + std * sqrt(dt[i])* rnorm(1)
  }
  data.frame(x=t,y=X)
}
simulate(t=1:200) %>%  ggplot(aes(x,y)) + geom_line()

使用purrr

的另一种实现

simulate <- function(t,sd=1,number.of.points=length(t)){
  stopifnot(!missing(t) | !missing(number.of.points))
  if(missing(t)){
    t <- 1:number.of.points
  } 

  unlist(purrr::accumulate2(vector("numeric",length=number.of.points-1),diff(t),function(x,o,y) {
    x + theta*(mean - x)* y + sqrt(y)*rnorm(1)
  },.init=x0),use.names=F) -> X
  
  data.frame(x=t,y=X)
}
simulate(number.of.points=200) %>%  ggplot(aes(x,y)) + geom_line()

,

从此处使用功能：https://quant.stackexchange.com/questions/1260/r-code-for-ornstein-uhlenbeck-process

ornstein_uhlenbeck <- function(T,n,nu,lambda,sigma,x0){
  dw  <- rnorm(n,sqrt(T/n))
  dt  <- T/n
  x <- c(x0)
  for (i in 2:(n+1)) {
    x[i]  <-  x[i-1] + lambda*(nu-x[i-1])*dt + sigma*dw[i-1]
  }
  return(x);
}

test <- ornstein_uhlenbeck(200,200,0.8,1,0)
plot(x = seq_along(test),y = test,type = 'l')

（请注意，它仅给您一个大致的分布，如链接中对该问题的答案之一所述。）

我假设T = 200，n = 200，nu = 0（如您所述），平均回归参数为0.8，sigma为1，并且过程从0开始。