问题描述
讲师说，算法的复杂度通常根据其输入大小来衡量。
因此，当我们说算法是线性的时，即使您给它输入大小为2 ^ n（例如2 ^ n是二叉树中的节点数），算法仍然与输入线性大小？
以上内容似乎是讲师的意思，但我很难将其转过头来。如果给它一个2 ^ n输入，它与某个参数“ n”呈指数关系，但是将此输入称为“ x”，则可以肯定，您的算法对x是线性的。但是，从头到尾，它在'n'还是不是指数式的？说它与x的线性关系有什么意义？
解决方法
如果算法具有线性时间复杂度，则无论输入大小如何，它都是线性的。无论是固定大小的输入，二次方还是指数输入。
显然，在固定大小的数组（平方或指数）上运行该算法将花费不同的时间，但复杂度仍为O(n)。
也许这个例子可以帮助您理解，在大小为16的数组上运行merge-sort是否意味着merge-sort是O(1)，因为对数组进行排序需要花费一定的时间？答案是否定的。
每当您看到“线性”一词时，您都应该问-线性用什么？通常，当我们说算法的运行时间是“线性时间”时，我们的意思是“算法的运行时间是O（n），其中n是输入的大小。”
您要询问的是，如果n = 2 k ，并且我们正在将指数大小的输入传递给函数。在这种情况下，由于运行时间为O（n）且n = 2 k ，则整个运行时间为O（2 k ）。在此陈述与算法以线性时间运行这一事实之间并没有矛盾，因为“线性时间”的意思是“线性关系是输入大小的函数。”
请注意，我明确选择在表达式2 k 中使用其他变量k，以引起注意以下事实：这里确实存在两个不同的数量-输入大小为a k的函数（即2 k ），而变量n更一般地表示函数的输入大小。您有时会看到这种组合，例如“如果算法的运行时间为O（n），则在大小为2 n 的输入上运行算法需要时间O（2 n ）。”该陈述是正确的，但解析起来有些棘手，因为n在那儿扮演着两个不同的角色。
,当我们说算法为O(n)时，意味着如果输入大小为n，则它与输入大小成线性关系。因此，如果n在另一个参数k上是指数（例如n = 2^k），则该算法在输入大小方面也是线性的。
另一个示例是二进制搜索大小为n的输入数组的时间复杂度。我们说二进制搜索大小为n的排序数组在O(log(n))中。这意味着对于输入大小，最多需要渐近log(n)比较才能在大小为n的输入数组中搜索项目，
假设您要打印前n个数字，并且要打印每个数字，则需要进行3次操作：
n-> 10，操作次数-> 3 x 10 = 30
n-> 100，操作次数-> 3 x 100 = 300
n-> 1000，操作次数-> 3 x 1000 = 3000
n-> 10000，我们也可以说n = 100 ^ 2（例如k ^ 2）， 操作次数-> 3 x 10000 = 30,000 即使n是某物的指数（在这种情况下为100），我们的运算次数也仅取决于输入的数（n为10,000）。
所以我们可以说这是线性时间复杂度算法。