从数学上讲，为什么对另一个数取模的指数的SICP算法为什么起作用？

编程问答 2022-06-04

问题描述

Section 1.2.6 of SICP给出以下过程：

    (define (expmod base exp m)
  (cond ((= exp 0) 1)
        ((even? exp)
         (remainder (square (expmod base (/ exp 2) m))
                    m))
        (else
         (remainder (* base (expmod base (- exp 1) m))
                    m))))

作者声称它“ 计算另一个模的数字的指数”。例如(expmod 5 3 n)应该返回（5 ^ 3）mod n。

但是，从数学的角度来看，我只是看不到它是如何工作的。如footnote 46所强调的那样，它打算对以下任意正整数a，b和n使用以下属性：（ab）mod n = [（a mod n）（b mod n）] mod n，但是我看不到它是如何实际使用的。考虑(expmod 5 3 3)：

  1. 首先，我们叫(expmod 5 3 3)。从数学上讲，这意味着我们要的是（5 ^ 3）mod 3。
  2. 由于第二个参数为奇数，因此我们计算(remainder (* 5 (expmod 5 (- 3 1) 3)) 3)，即(remainder (* 5 (expmod 5 2 3)) 3)。从数学上讲，这是[5 * [（5 ^ 2）mod 3]] mod3。由于此表达式中的开头5没有附加mod 3，因此（ab中的 not ）mod n = [（a mod n）（b mod n）] mod n形式，因此它无法使用预期的属性。

因此，鉴于这似乎没有使用预期的属性，为什么该算法起作用？我忽略了模块化算术的什么特性？

解决方法

(ab) mod n = [a (b mod n)] mod n

也是如此。

这是对a的归纳证明。

基本情况：当a = 0，(0b) mod n = 0 mod n = [0 (b mod n)] mod n时。

归纳案例：

根据归纳假设，假设(ab) mod n = [a (b mod n)] mod n为真。我们需要证明((a+1) b) mod n = [(a + 1) (b mod n)] mod n。

((a+1) b) mod n
= (ab + b) mod n
= (ab mod n) + (b mod n)
= [a (b mod n)] mod n + (b mod n)             by induction hypothesis
= [a (b mod n)] mod n + (b mod n) mod n
= [a (b mod n) + (b mod n)] mod n
= [(a + 1) (b mod n)] mod n

根据需要。

得出结论，证明

(ab) mod n = [a (b mod n)] mod n

事实上，您可以看到

(ab) mod n = [(a mod n) (b mod n)] mod n

是其后的结果。这是一个证明：

(ab) mod n 
= [a (b mod n)] mod n            by what we just proved
= [(b mod n) a] mod n
= [(b mod n) (a mod n)] mod n    by what we just proved
= [(a mod n) (b mod n)] mod n
,

这是来自1.2.4的fast-exp的定义，引用如下：

(define (fast-expt b n)
  (cond ((= n 0) 1)
        ((even? n) (square (fast-expt b (/ n 2))))
        (else (* b (fast-expt b (- n 1))))))

如果我们将事物重命名为更匹配expmod，则它看起来像这样：

(define (expt base exp)
  (cond ((= exp 0) 1)
        ((even? exp)
         (square (expt base (/ exp 2))))
        (else
         (* base (expt base (- exp 1))))))

要获得朴素的expmod，我们现在可以仅计算每个子句的其余部分：

(define (expmod base exp m)
  (cond ((= exp 0) 1)
        ((even? exp)
         (remainder (square (expt base (/ exp 2))) m))
        (else
         (remainder (* base (expt base (- exp 1))) m))

到目前为止，我们还没有使用脚注(ab) mod m = ((a mod m)(b mod m) mod m)。当然，其中的一个特殊情况是(aa) mod m = ((a mod m)(a mod m) mod m)，它得到(remainder (square a) m) = (remainder (sqaure (remainder a m)) m)。我们可以在even子句中使用它，这样

         (remainder (square (expt base (/ exp 2))) m)

成为：

         (remainder (square (remainder (expt base (/ exp 2)) m))
                    m)

在此过程中，我们有一个指数的余数，所以它等效于：

         (remainder (square (expmod base (/ exp 2) m)) m)

使用新的even子句

(define (expmod base exp m)
  (cond ((= exp 0) 1)
        ((even? exp)
         (remainder (square (expmod base (/ exp 2) m)) 
                    m))
        (else
         (remainder (* base (expt base (- exp 1))) m))

为简化奇数子句，现在暂时使用E代替(expt base (- exp 1))。

通过使用mod的定义属性，我们可以说任意数量的a：

         a = (+ (* (quotient a m) m) (remainder a m))

所以也确实如此：

         E = (+ (* (quotient E m) m) (remainder E m))

将其替换为我们的odd子句：

         (remainder (* base E) m)

给予：

         (remainder (* base (+ (* (quotient E m) m) (remainder E m))) m)

我们可以忽略(* (quotient E m) m)，因为包含该术语的任何术语都可以被m整除，因此在做外部0时将得出remainder，因此等效于： 

         (remainder (* base (remainder E m)) m)

将E扩展为原始值：

         (remainder (* base (remainder (expt base (- exp 1)) m)) m)

再一次，在中间，我们有一个指数的余数，所以变成了：

         (remainder (* base (expmod base (- exp 1) m)) m)

我们的expmod现在是：

(define (expmod base exp m)
  (cond ((= exp 0) 1)
        ((even? exp)
         (remainder (square (expmod base (/ exp 2) m)) 
                    m))
        (else
         (remainder (* base (expmod base (- exp 1) m))
                    m))))
exponentiationmodular-arithmeticschemeschemesicp