SVD：还原的矩阵与原始矩阵不匹配

编程问答 2022-06-04

问题描述

我正在尝试在矩阵上使用sympy的SVD：

[3,2,2]
[2,3,-2]

但是，恢复的矩阵与原始矩阵不匹配。

这是我的代码：

import sympy

A = sympy.Matrix([
  [3,2],[2,-2]
])

A1 = [email protected]()
[U,D1] = A1.diagonalize(normalize=True)

A2 = A.transpose()@A
[V,D2] = A2.diagonalize(normalize=True)
V_T = V.transpose()

S = sympy.sqrt(D2).doit()
S = S.row_del(0)

U@S@V_T

输出为：

[2,-2]
[3,2]

第一行和第二行与原始行互换。
我知道U会导致此结果，即：

Matrix([
[-sqrt(2)/2,sqrt(2)/2],[ sqrt(2)/2,sqrt(2)/2]])

代替：

[ sqrt(2)/2,[-sqrt(2)/2,sqrt(2)/2]])

...，但我不知道该如何解决。

我向sort添加了一个参数diagonalize()：

[U,D1] = A1.diagonalize(sort=True,normalize=True)

但是，没关系。

您将如何解决此问题？ 预先谢谢你。

解决方法

我也被老师欺骗了。我还认为SVD非常简单。但是特征向量不是唯一的。即使将其标准化，也可以将每列乘以-1以得出相同的答案。

SVD不起作用的原因是U和V相互链接，因为它们的列符号需要以某种方式协同工作。进行单独的对角线化会忽略这种固有的依赖性，并且大多数时候您都会得到错误的答案。

有关类似的解释，请参见此Maths Exchange问题和其他许多问题。

以下内容回答了Maths Exchange问​​题中的内容。

import sympy

A = sympy.Matrix([
  [3,2,2],[2,3,-2]
])
# A = U S V'

if A.shape[0] <= A.shape[1]:
    A1 = A * A.T
    U,S = A1.diagonalize(normalize=True)
    V_T = S**-1 * U.T * A
    print(U * S * V_T)
else:
    A2 = A.T * A
    V,S = A2.diagonalize(normalize=True)
    U = A * V * S**-1
    print(U * S * V.T)

由于A是“风景”或“人像”，我只是添加了两种情况，这仅仅是因为每种数学的计算方式不同。希望它是正确的。

注意：我强烈建议您使用某种数值计算库，而不要使用符号数学库创建自己的函数。如果您不使用符号，则数值计算库可能会更快。

diagonalmatrixpythonsvdsympy