Sprague–Grundy定理/尼姆游戏/ Bowlingpins Hackerrank

问题描述

我一直试图在HackerRank中解决这个问题，称为保龄球瓶。基本上，您必须编写一个程序来预测谁会赢，谁会输。游戏规则是：

• 保龄球瓶水平放置，并用一串大写字母i表示->“ IIII”（4个针脚）
• 您可以击倒一个单独的“ I”引脚或两个相邻的“ II”引脚
• “ X”将代表被击倒的引脚
• 最后一位击败胜利者

给出字符串“ XIIX”，这是一次胜利，因为我可以击倒两个中间的针脚。

给定字符串“ IXIX”是失败的，因为下一位玩家将采取最后的行动

现在，我试图对组合游戏定理有一个基本的了解。我知道我必须计算出混合比和脾气暴躁，才能在不实际玩游戏的情况下知道谁赢了谁，谁输了。

现在我的问题是我是否有三个“ III”引脚 mex {1,2} = 0，这意味着失败。但是，当我按下单个中间销时会发生什么？ 下一个玩家回合将看起来像“ IXI”，无论我得到最后一个销子并获胜，他/她都可以按下左销或右销。对吧？

我对这些概念还很陌生，我不确定我是否为该游戏正确实现了Sprague-Grundy定理。有人可以向我解释吗？

以下是我要解决的问题的链接-> https://www.hackerrank.com/challenges/bowling-pins/problem

解决方法

我认为该文档对相关理论https://web.mit.edu/sp.268/www/nim.pdf有很好的解释。就个人而言，我花了一些时间来阅读这份文件。起初我只是尝试阅读，但是通过写下一些引理/定理并自己进行一些练习，我从中获得了更多的收获。我认为“从游戏到图形”和“ Sprague-Grundy函数”部分下的图形对于解决此问题特别有用。

这是我开始思考的方式：一组大头针就是游戏位置。每个游戏位置都可以是终端，也可以有跟随者，而跟随者是可以移动到的其他游戏位置。可以根据其关注者的SG值为每个游戏位置分配一个Sprague-Grundy（SG）。现在尝试创建游戏位置图：

• 唯一的端子位置是没有剩余的引脚，根据您开始使用的引脚数，我们可以将其写为X或XX或许多X。这个职位有SG(X) = 0，因为它是终点站。

• 游戏位置I可能会撞到一个针脚，这会使其变成X。因此X是I和SG(I) = mex{SG(X)} = mex{0} = 1

  的关注者

• 游戏位置II可以撞倒一个针，使其变为XI == IX == I，或者两个，使其{ {1}} == XX。因此，它具有这两个关注者和X。

• 现在让我们看一下SG(II) = mex{SG(I),SG(X)} = mex{0,1} = 2，因为这是我们开始使用文档中其他信息的地方。追随者是III（SG为2），XII（SG为1）和XXI。对于这最后一个，我们可以看到它只有一个跟随者并得到这样的SG，或者我们可以使用Sprague-Grundy定理。这表示“图形上游戏总和的SG函数就是其组件SG函数的Nim总和”。对于IXI，它有两个IXI的游戏，每个游戏的SG为1。当我们获得nim和（即二进制表示的异或）时，我们得到0。因此，总之，I

您可以一次又一次拿走1或2 SG(III) = mex{2,1,0} = 3并计算nim的总和，以自下而上获得其他SG。