问题描述
我知道如何用公式n（h）= n（h-1）+ n（h-2）+1查找高度为h的AVL树（包括外部节点）中的最小节点数，但是我想知道是否有一个公式仅找到高度为h的AVL树的最小内部节点。
如果n（3）= 4，则仅计算内部节点。 n（4）= 7，如果我们仅计算内部节点。我可以将其绘制出来并计算内部节点，但是当您使用更大的AVL树时，会很混乱。
我似乎无法在此找到任何东西，而试图找到具有一致答案的模式只会导致数小时的沮丧。预先感谢。
解决方法
是的，有一种很好的方法来计算。让我们从两个最简单的AVL树开始，它们分别是0阶和1阶：
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第一棵树没有内部节点，第二棵树有一个内部节点。这为我们提供了递归关系的基本案例：
- I（0）= 0
- I（1）= 1
从这里，我们注意到在n + 2阶的AVL树中获取最少内部节点的方法是，选择两个n和n + 1阶的树作为子节点（以最小化节点数），它们具有尽可能少的内部节点。生成的树将具有等于两个子树中的内部节点数的内部节点数，再加上一个用于新的根。这意味着
- I（n + 2）= I（n）+ I（n + 1）+ 1。
应用这种重复操作会给我们顺序
0、1、2、4、7、12、20等
嘿-我们之前在某个地方看到过这个吗？我们有！每学期加一个就可以了
1、2、3、5、8、13、21等
这是斐波那契数列，向下移动了两个位置！所以我们的假设是
I（n）= F（n + 2）-1
通过对n进行归纳可以证明是这种情况。
这是获得此结果的另一种方法。想象一下，您拿了一个高度为n的AVL树，并去除了所有叶子。现在，您剩下的是高度为n-1的AVL树（证明了这一点！），该树中的所有其余节点都是原始树的内部节点。高度n的AVL树中最小的节点数是F（n + 2）-1，与我们的结果相符。