如何判断函数是非凸的还是凸的

问题描述

例如：（6-z）（x1 + x2 + x3）＜40。 z是一个正整数变量.x1，x2和x3都是实数变量。那么如何判断函数是凸函数还是非凸函数。

解决方法

这实际上是一个比人们预期的更为复杂的问题。

1. 这不是函数，而是约束。

2. 约束永远不应包含

3. 凸约束f(x) <= c的一个定义是所有f(lambda*x1+(1-lambda)*x2) <= lambda*f(x1)+(1-lambda)*f(x2)的{​​{1}}。 （严格凸度需要

4. 通常容易的是证明对于所有x，二阶导数（Hessian）矩阵都是对称且正半定的。

5. 对于二次约束，例如在您的示例中，形成约束x1,x2,0<lambda<1（这只是一种不同的表示法），并证明x'Qx + a'x <= c是正半确定的。例如。通过查看特征值。

6. 另一种方法是尝试使用CVXPY解决问题。如果问题不是凸面的，它将抱怨。

7. 如果模型根据起点收敛到不同的解决方案（具有不同的目标值），则问题将是非凸的。

8. 我经常使用的另一种启发式方法：放入诸如Baron之类的全局求解器，然后检查日志并查看它是否进行了分支。如果是这样，则说明问题不存在。

9. 对于二次问题：将其扔到Cplex或Gurobi上，看看它是否抱怨非凸性。 Gurobi有一个选项可以解决非凸二次问题（但是需要设置一个选项）。

10. 对于某些问题类别，我们知道问题是否是凸的（请对此问题熟悉文献）。

11. 如果松弛为凸（即忽略整数限制），则具有整数变量的约束为凸。

12. 具有整数/二进制变量的约束通常可以重新构造为一组线性不等式。