递归算法的时空复杂度 一些其他解释

编程问答 2022-06-03

问题描述

将n转换为其英文单词表示形式，其中0 n

Python解决方案： 

class Solution:
    def helper(self,n):
        ones = ['','One','Two','Three','Four','Five','Six','Seven','Eight','Nine']
        teens = ['Ten','Eleven','Twelve','Thirteen','Fourteen','Fifteen','Sixteen','Seventeen','Eighteen','Nineteen']
        tens = ['','','Twenty','Thirty','Forty','Fifty','Sixty','Seventy','Eighty','Ninety']

        res = ''
        if n < 10:
            res = ones[n]
        elif n < 20:
            res = teens[n - 10]
        elif n < 100:
            res = tens[n // 10] + ' ' + self.helper(n % 10)
        elif n < 1000:
            res = self.helper(n // 100) + ' Hundred ' + self.helper(n % 100)
        elif n < 1000000:
            res = self.helper(n // 1000) + ' Thousand ' + self.helper(n % 1000)
        elif n < 1000000000:
            res = self.helper(n // 1000000) + ' Million ' + self.helper(n % 1000000)
        return res.strip()


    def convert_to_word(self,n):
        if n == 0:
            return 'Zero'
        return self.helper(n)

我一直在尝试计算此解决方案的时间和空间复杂度。我看到了不同的答案。有人说时间复杂度为O（1），因为辅助函数被调用了固定的次数（即使n是一个大数）。其他人说它是O（log（n））。

空间复杂度似乎是O（1）？

我很困惑。请帮我澄清一下。谢谢。

解决方法

在所有大于1000000000的输入n上，该函数立即返回一个空字符串，而无需进行任何计算或递归调用。因此，时间复杂度当然是O（1），空间复杂度也是如此（因为较小的n所发生的事情完全不相关）。

如果您删除该行，情况将有所不同，并且会更有趣

elif n < 1000000000

，因此对于大的n，您将得到一个（虚拟的）无限制的结果字符串，其中包含无限制的Million个子字符串（忽略整数在实际计算机上的最大大小这一事实，并且忽略了这样的事实：您将获得无意义的数字单词）。在这种情况下，您将获得时间复杂度O(log(n)^2)（因为您正在连接长度为O(log n)的{​​{1}}个字符串）和空间复杂度O(log n)（由于递归调用）。通过更有效地处理字符串连接，可以轻松地将时间复杂度降低到O(log n)。

一些其他解释

从评论看来，为什么时间复杂度为O（1）并不明显。如果我们说时间复杂度 T（n）在O（1）中，则意味着存在一个常数 c 和一个常数 k 对于所有 n> k ， T（n）。

在此示例中，选择O(log n)和c = 9可以解决问题，或者选择k = 0，因此时间复杂度为O（1）。现在还应该清楚，以下函数也是O（1）（尽管具有很大的隐藏常数因子）：

c = 1 and k = 1000000000
space-complexitytime-complexity