AVL树中“空”节点数的O复杂度是多少？

问题描述

我们知道，AVL树通常非常接近于平衡。假设我们将一棵AVL树放入一个数组中（非常类似于堆，其中父级是索引i，左子级是2i，右子级是2i + 1），您将获得多少个空索引O的复杂性？

因此，我知道高度为h的树中的最小节点数= Fibonacci（h + 2）-1。因此，空索引的数量= 2 ^ h-1-（Fibonacci（h + 2）-1） = 2 ^ h-斐波那契（h + 2）。但是我不知道下一步该怎么证明它的复杂性。我认为它是O（log（n）），但我不确定。

解决方法

如果h是基于0的（按照通常的惯例），则高度为h的AVL树中的最小节点数为F(h+3) - 1。

让n = F(h+3) - 1并尝试解决h来找到具有n个节点的AVL树的最大高度。

F（x）的闭合形式由Binet的公式给出（有关详细信息，请参见here）

F(x) = (phi^n - psi^n)/sqrt(5)

因此

n = (phi^(h+3) - psi^(h+3))/sqrt(5) - 1
 >= (phi^(h+3) - 1)/sqrt(5) - 1 since |psi| < 1

求h收益

h <= log_phi(sqrt(5)(n + 1) + 1) - 3
  <= 1.4405 log2(n)

高度为h的完整树具有2^(h+1) - 1个节点。或就n而言：

   2^(h+1) - 1
<= 2^(1.4405 log2(n) + 1) - 1
 = 2 * (2^log(n))^1.4405 - 1
 = 2n^1.4405 - 1   

因此，空节点的数量由

限定

2n^1.4405 - 1 - n = O(n^1.4405)