Codility CommonPrimeDivisors 时间复杂度？

问题描述

关于 Codility 中的 Common Prime Divisors 任务，我有几个时间复杂度问题。问题如下：

素数是一个正整数X，它恰好有两个不同的 除数：1 和 X。前几个素数是 2、3、5、7、11 和 13.

素数 D 被称为正整数 P 的素数除数，如果有 存在一个正整数 K 使得 D * K = P。例如，2 和 5 是 20 的质数。

给定两个正整数 N 和 M。目标是检查 整数 N 和 M 的素因数集是否恰好是 一样。

例如，给定：

• N = 15 和 M = 75，质因数相同：{3,5};
• N = 10 和 M = 30，质因数不一样：{2,5} 不等于 {2,3,5};
• N = 9 和 M = 5，素数除数不一样：{3} 不一样 等于 {5}。

写一个函数：

class Solution { public int solution(int[] A,int[] B); }

即，给定两个非空数组 A 和 B 的 Z 个整数，返回 A[K] 和 B[K] 的素数除数所对应的位置数 K 完全一样。

例如，给定：

A[0] = 15   B[0] = 75
A[1] = 10   B[1] = 30
A[2] = 3    B[2] = 5

该函数应该返回 1，因为只有一对 (15,75) 具有相同的素数除数集。

为以下假设编写一个有效的算法：

• Z 是 [1..6,000] 范围内的整数；数组 A 的每个元素，
• B 是 [1..2,147,483,647] 范围内的整数。

我设法用以下算法解决了它100%：

class Solution {
    public int solution(int A[],int B[]) {
        int result = 0;

        for (int i = 0; i < A.length; i++){

            int gcdOfAAndB = gcd(A[i],B[i]);

            if (
                factorsOfRemainderAreTheSameOfGCD(A[i],gcdOfAAndB) &&
                factorsOfRemainderAreTheSameOfGCD(B[i],gcdOfAAndB)
            ) {
                result++;
            }

        }

        return result;
    }

    public boolean factorsOfRemainderAreTheSameOfGCD(int input,int gcdOfAAndB) {
        int factorsNotInGCD = input / gcdOfAAndB;

        while (gcdOfAAndB % factorsNotInGCD != 0){

            int gcd = gcd(gcdOfAAndB,factorsNotInGCD);

            if (gcd == 1)
                return false;

            factorsNotInGCD /= gcd;

        }

        return true;
    }

    public int gcd(int a,int b) {
        if (a % b == 0){
            return b;
        }

        return gcd(b,a % b);
    }
}

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我假设算法的时间复杂度为：

O(Z * (log(log(M+N)+N) * log(N) + log(log(M+N)+M) * log(M)))，因为：

• while 循环中的 GCD 以 log(log(M+N)+input) 的方式执行；
• while 循环本身显然具有对数增长率：factorsNotInGCD 在每次迭代中至少减半；
• 因此我得出结论，它们组合起来代表 log(log(M+N)+input) * log(input);
• 由于 while 循环执行两次，一次用于 N 和 M，我们将它们相加，结果 (log(log(M+N)+N) * log(N) + log(log(M+N)+M) * log(M);
• 最后，Z 表示将要测试的 N 和 M 的数量。

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我的问题：

• 我对算法时间复杂度的假设是否正确？如果不是，正确的时间复杂度是多少？
• Codility 表示它检测到时间复杂度为 O(Z * log(max(A) + max(B))**2)，我想知道如何实现这一点。

先谢谢了

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