组合公式减去镜像结果

问题描述

我正在讨论一个由 5 名玩家组成的团队可以参加的组合数。我们都同意总组合数为 5！ = 120。我们的不同之处在于排除了镜像结果。所以ABCDE和EDCBA是一样的，但是DECBA会不一样。

我的想法是你会减去 4！剩下的 4 个位置产生了 96 个不同的团队组合。

他试图让我相信 120 个原始组合中有 1/2 是一面镜子。

能否请更擅长离散数学的人帮忙解决这个问题？

解决方法

你们都对，有 5 个！ = 一组五个唯一元素 {A,B,C,D,E} 的 120 个排列。但是，您的朋友是正确的，其中一半的排列与列表中的其他排列相反。证明很简单：

考虑任何排列 uvxyz。与此相反，zyxvu 也是一个排列，并且是唯一确定的。因为逆是它自己的逆，所以zyxvu的逆是uvxyz，原始排列。因此，这组 120 个排列中的每一个排列都恰好被另一个排列所反映，而该排列不反映其他排列。我们可以想象一个二部图，它的节点用排列标记，并且用弧连接标记反向的节点。为消除所有边（镜像）而必须从该图中移除的最小节点数正好是图中节点的一半。

为了对此有一些直观的了解，请先想象一个小得多的案例，然后再想象一个更大的案例。考虑 N=3，集合 {A,C}。有六种排列：ABC、ACB、BAC、BCA、CAB 和 CBA。如果你的朋友是对的，我们需要删除其中三个；如果你是对的，我们会删除两个。您可以验证实际上存在三个配对：

ABC   CBA
ACB   BCA
BAC   CAB

现在，想象一个更大的数字，比如 N=100。如果您的朋友是对的，则需要删除 50% 的排列。如果您是对的，则只需删除 99! 或恰好 1% 的排列。对于 N=1000，您的朋友说必须进行 50% 的排列，而您说只有 0.1% 被镜像。等等。