寻找形式为 f(x) = a*min(b, x) 的函数的最大值的算法？

问题描述

我有一组包含 (a,b) 和 a > 0 的元组 b > 0。
每个元组代表一个函数 f，使得 f(x,a,b) = a * min(b,x).

对于给定的 x 是否有已知的算法来查找哪个元组返回最大值？
我不想评估每个函数来检查最大值，因为我会针对不同的 x 查询这个数组任意次数。

示例：

array = [ (1,10),(2,3) ]
x < 6 -> choose (2,3)
x = 6 (intersection point) -> either (1,10) or (2,3) doesn't matter
x > 6 -> choose (1,10)

所以问题是这些元组可以按 a 或 b 排序。但是它们之间可能有很多交点（如果我们将它们可视化为图形）。所以我想避免任何 O(n^2) 排序算法来检查 x 的某些范围，这是最好的函数。我的意思是我不想将每个函数与所有其他函数进行比较，以找出我应该从哪个点 x'（交点）和在另一个中选择一个。

解决方法

效率的关键是避免无用的工作。如果你想象一棵决策树，修剪分支是一个常用的术语。

对于您的情况，决策基于在两个函数（或参数元组）之间进行选择。为了选择这两个函数中的任何一个，您只需确定它们为您提供相同值的值 x。其中一种对于较小的值表现更好，另一种对于较大的值。另外，不要忘记这一部分，可能是一个功能总是比另一个表现得更好。在这种情况下，可以完全删除性能较差的那个（另请参见上文，避免无用的工作！）。

使用这种方法，您可以从此切换点映射到左侧的函数。找到任意值的最优函数只需要找到下一个更高的切换点。

顺便说一句：确保你有单元测试。这些事情很繁琐，尤其是浮点值和舍入错误，因此您要确保可以运行不断增长的测试套件，以确保一个小错误修复不会破坏其他地方的事情。

,

我认为您应该先根据 'b' 再根据 'a' 对数组进行排序。现在对于每个 x 只需使用二进制搜索并找到 min(b,x) 将根据值仅给出 b 或 x 的位置。因此，从那时起，如果 x 很小，那么 b 的所有即将到来的值都将元组作为 t1 并且您可以使用该函数计算值，并且对于小于 x 的 b 值，您必须遍历。我不确定，但这是我能想到的。

,

预处理数据后，可以在 O(log(n)) 时间内计算出这个最大值，其中 n 是元组数 (a,b)。

首先，让我们看一个稍微简单的问题：您有一个 (c,b) 对的列表，并且您想找到具有最大值 c 的那个，条件是 {{ 1}}，并且您想对不同的 b<=x 值执行多次此操作。例如，以下列表：

x

有了这个列表，如果用 c b ------ 11 16 8 12 2 6 7 9 6 13 4 5 查询，x=10的可用值为2、7和4，最大值为7。

让我们按 c 对列表进行排序：

b

当然，此列表中的某些值永远无法给出答案。例如，我们永远不能在答案中使用 c b ------ 4 5 2 6 7 9 8 12 6 13 11 16 ,b=2 行，因为如果 c=6 then 6<=x，所以我们可以使用 5<=x 行来得到更好的答案。因此，我们不妨去掉列表中类似的对，即 c=4 的值目前不是最高的所有对。因此，我们将列表缩减为：

c

给定这个列表，在 c b ------ 4 5 7 9 8 12 11 16 上有一个索引，很容易找到 b 的最大值。您所要做的就是在列表中找到c 的最大值，即b，然后返回<=x 的对应值。

显然，如果您更改问题以便只需要带有 c（而不是 b>=x）的值，您可以做完全相同的事情。

没错。那么这对您提出的问题有何帮助？

对于给定的 b<=x 值，您可以将问题拆分为 2 个问题。如果您能回答这两个问题，那么您就可以回答整个问题：

1. 在 x 和 (a,b) 对中，哪一个给出了最高的 b<=x 值？
2. 在 f(x,a,b) = a*b 和 (a,b) 对中，哪一个给出了最高的 b>=x 值？

对于 (1)，只需让 f(x,b) = a*x 代表每一对，然后完成上面概述的整个索引繁琐。

对于（2），让 c=a*b 并做上面的索引事情，但翻转过来做 c=a 而不是 b>=x；当您得到 b<=x 的答案时，不要忘记将其乘以 a。