问题描述
我想知道如何推导出堆数据结构的 Heapify 算法的时间复杂度。
我是根据 Ellis Horowits 所著的《计算机算法基础》一书提出这个问题的。我正在添加一些算法的截图以及书中给出的推导。
算法：
最坏情况复杂度的推导：
我理解了这个计算的第一部分和最后一部分，但我无法弄清楚 2^(i-1) x (k-i) 是如何变成 i2^(k-i-1) 的。
我在互联网上可以找到的所有推导都采用了不同的方法，即以不同的方式考虑树的高度。我知道这种方法也会导致相同的答案，但我想了解这种方法。
您可能需要以下信息：
2^k-1 = n 或近似 2^k = n，其中 k 是级别数，从根节点开始，根的级别为 1（不是 0），n 是节点数。>
还有 Adjust() 函数的最坏情况时间复杂度与它调用的子树的高度成正比，即 O(log n，其中 n 是子树中元素的总数树。
解决方法
这是一个变量替换。
首先，意识到在等式的最左边，和的最后一项为零（因为当 i = k,k-i = 0 时）。所以，第一次求和的范围可以写成1 <= i <= k-1。现在，将 i 替换为 k-i。 i 迭代集合 {1,2,...,k-1} 和 k-i 迭代集合 {k-1,... 2,1}，它们是同一个集合，因此，我们可以做这个替换。