订单统计树和一维点问题操作的时间复杂度

问题描述

我遇到了以下面试问题：

我们需要一个数据结构来在 X 轴上保持 n 个点，这样我们才能有效地实现 Insert(x)、Delete(x) 和 Find (a,b)（给出数量 间隔[a,b]）。假设 Find(a,b) 返回的最大数量为 k。

1. 我们可以创建一个数据结构来执行O(log n)

   中的三个操作

2. 我们可以创建一个数据结构，在 O(log n) 中执行 Insert 和 Delete，在 O( k + log n).

我从一般信息中知道 Find 就像一维点上的范围（但是为了计算这个问题中的元素，即我们需要元素的数量）。例如，如果我们使用 AVL 树，那么我们将得到选项 (2) 的时间复杂度。

但是当我得知 (1) 是正确答案时，我感到很惊讶。为什么 (1) 是正确答案？

解决方法

答案确实是（1）。

AVL 树的想法很好，您的结论是正确的。但是您可以扩展 AVL 树，使每个节点都有一个额外的属性：在节点自己的值之前的值的数量。您必须在 AVL 操作（包括轮换）中注意此额外属性是否保持最新。但这可以通过恒定开销来完成，因此它不会影响 Insert 或 Delete 的时间复杂度。

然后Find可以只搜索值为a的节点（或者最大值小于a的节点），并对值执行相同的操作b。从您发现的两个节点中，您都会获得额外的属性。这两者相减将得到所需的结果。有一些边界情况需要考虑，比如当 a 出现在树中时，那么该节点本身也应该被计算在内，否则不会。可能没有找到值小于或等于a的节点。那么在减法中缺失的属性应该被视为0。

显然这使得 Find 独立于其返回值（最多 k）。两次二分查找的时间复杂度为 O(logn)。