问题描述
我遇到了以下问题：
给定n+1个离散随机变量：
X = {1,...,n} with P(x=i) = p_i
Y_i = {1,n_i} with P(y_i = j) = p_ij and i = 1,n
我们执行以下操作：
- 我们从 X 中抽取，结果决定了我们为下一步选择哪个 Y_i：如果 x = a，我们使用 Y_a。
- 我们从这个 Y_a 中抽取。
现在我的问题是：
- 如何获得整体的期望值和方差？
- 这个“过程”可以由单个随机变量定义吗？
- 假设我们只知道所有 Y_i 的 EV 和 Var，而不知道所有（甚至不知道）概率。我们还能算出整个过程的EV和Var吗？
- 如果 2) 可以完成，如何在 R 中有效地做到这一点？
举一个我尝试过的例子：
X = {1,2} with P(x = 1) = 0.3 and P(x = 2) = 0.7
Y_1 = {2,3} with P(y_1 = 1) = 0.5 and P(y_1 = 3) = 0.5
Y_2 = {1,5,20} with P(y_2 = 1) = 0.3,P(y_2 = 5) = 0.6 and P(y_2 = 20) = 0.1
我曾尝试将这些组合到一个随机变量 Z，但我不确定是否可以这样做：
Z = {2,3,1,20} with probabilities (0.5*0.3,0.5*0.3,0.3*0.7,0.6*0.7,0.1*0.7)
加权 EV 是正确的，但“加权”Var 是不同的——如果对独立随机变量使用线性组合的 Var 公式是正确的。 （也许只是组合 Var 的公式是错误的。）
我使用了 R 和包“discreteRV”：
install.packages("discreteRV")
library(discreteRV)
#defining the RVs
Y_1 <- RV(outcomes = c(2,3),probs = c(0.5,0.5)) #occures 30% of the time
Y_2 <- RV(outcomes = c(1,20),probs = c(0.3,0.6,0.1)) #occures 70% of the time
Z <- RV(outcomes = c(2,probs = c(0.5*0.3,0.1*0.7))
#calculating the EVs
E(Z)
E(Y_1)*0.3 + E(Y_2)*0.7
#calculating the VARs
V(Z)
V(Y_1)*(0.3)^2 + V(Y_2)*(0.7)^2
感谢您的帮助。
解决方法
实际上Z有更大的样本空间由Y1和Y2展开，不是两个分量的线性叠加。换句话说，我们应该将 Z 呈现为 Z = [0.3*Y1,0.7*Y2] 而不是 Z = 0.3*Y1 + 0.7*Y2。
既然我们有
V(Z) = E(Z**2)-E(Z)**2
> E(Z**2) -E(Z)**2
[1] 20.7684
> V(Z)
[1] 20.7684
我们很容易发现，在术语E(Z)**2中，在Y1和Y2之间存在交叉产品术语，这使得V(Z) != V(Y_1)*(0.3)^2 + V(Y_2)*(0.7)^2。