一个图可能有多个最小生成树

问题描述

设 G=(V,E) 是一个无向图，所有的边都有唯一的权重。是真的吗 G 有一个唯一的 MST？或者 G 也可以有多个 MST？

解决方法

根据 MST 的定义（来源：wikipedia）-

最小生成树 (MST) 或最小权重生成树是连接的边加权无向图的边的子集，该无向图将所有顶点连接在一起，没有任何循环，并且具有最小可能的总边权重。

目标是覆盖所有顶点，同时具有最低边权重和。此外，生成树 (ST) 是 tree，因此没有循环 -

在上图中，橘子树是 ST，但只有顶部的可以是 MST（边权重和为 7）。

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编辑

反证法：

令 是一个具有唯一边权重的无向图。设 和 是图的两个不同最小生成树。

让 成为 中权重最低的边，但 中没有。类似地，让 成为 中的边，但不是 中的边。

现在，由于边权重是唯一的，不失一般性，让 .

另外，如果我们在 中添加 ，会形成一个带有 的循环。为了去除循环，让我们从 中去除边 。因此，我们有一个生成树 。

这个ST，，现在总重量小于；但是，这是一个矛盾，因为 已经是 MST。

因此，我们假设 一开始有两个 MSTs 是错误的。证明到此结束。