找到截断值的极限是什么意思？

问题描述

X_hat 是 X 的近似值。它由 X_t 给出，使用 t 位截断 X。

求 X_t / X 的极限。

X_hat 和 X_t 以浮点二进制表示。据我了解：

If t = 3 and X_hat = 1,X_t = 1.01

1/1 = 1 是上限吗？下限呢？

解决方法

以下假设问题是关于有效位（例如，以十进制为例，3141592 截断为 3 个有效数字将是 3140000，并截断为 5 个有效数字将是 3141500）。由于问题是关于相对误差，所以有没有小数点或在哪里有小数点都没有关系，所以可以不失一般性地假设这些数字是整数。

如果 X = 0 则 X̂ = X = 0 和 X̂ / X 未定义。

否则，如果 0 < X < 2^(t-1) 则 X 最多有 t-1 位有效位，并且截断使 X 保持不变，因此 X̂ = X 和 X̂ / X = 1 .

否则，如果 X >= 2^(t-1) 则 X 可以写成 X = 2^n q + r 其中 n >= 0、2^(t-1) <= q < 2^t 和 0 <= r < 2^n。 t 最左边的 X 位是 q，因此 X 到 t 有效位的截断是 X̂ = 2^n q。

然后X̂ / X = 2^n q / (2^n q + r) = 1 - 1 / (1 + r / (2^n q))。表达式在 r 处减小，在 q 处增大，结合 r < 2^n 和 q >= 2^(t-1) 给出下界：

X̂ / X  >  2^(n+t-1) / (2^(n+t-1) + 2^n)
       =  1 - 1 / (1 + 2^(t-1))

对于固定的 n > 0，从 r <= 2^n - 1 和 q >= 2^(t-1) 得出的确切下限是：

X̂ / X  >=  2^(n+t-1) / (2^(n+t-1) + 2^n - 1)
        =  1 - (2^n - 1) / (2^(n+t-1) + 2^n - 1)
        =  1 - 1 / (1 + 2^(n+t-1) / (2^n - 1))
        =  1 - 1 / (1 + 2^(t-1) / (1 - 1 / 2^n))

这个下界是针对对应于 X = 2^(n+t-1) + 2^n - 1 的 X̂ = 2^(n+t-1) 获得的。在极限 n → ∞ 中，它降低到与上一步导出的 n 无关的下限。

approximate math truncation truncation