问题描述
这更像是一个一般的数学问题（甚至可能很愚蠢）。但是在高中，我们学会了通过正确的情节来确定方程的根。 例如，对于方程
y = x^2 - 1
蓝线将向我们展示根。这是当蓝线穿过 x 时，所以 +- 1。
现在，如果我们说方程有实部和虚部，那么它是
y = x^2 - 1 + (x^2 - 0.5)i
如 Mathematica 屏幕截图所示，我们有一个过零的实部和一个也过零但在不同 x 处的虚部。所以我的问题是：是否可以通过简单地查看绘图的实部和虚部来确定这样一个方程的根？
注意：我的部分困惑是，如果我使用 FindRoot，在 Mathematica 中，我会得到 0.877659 - 0.142424i 或 -0.877659 + 0.142424i。所以可能是数学中的一些基本属性，我不知道这会阻止人们通过分离实部和虚部来识别复杂函数的根......
解决方法
我们有一个过零的实部和一个也过零但在不同 x 处的虚部。
那些是为 x 的 real 值绘制的实部和虚部图。如果它们都在相同点与水平轴交叉，则意味着方程有实根，因为实部和虚部都为零对于x的一些真实值。但是，这个方程没有实根，所以交点不同。
所以我的问题是：是否可以通过简单地查看绘图的实部和虚部来确定这样一个方程的根？
f(x) = x^2 - 1 + i (x^2 - 0.5) 是复变量的复函数，将复变量 x = a + i b 映射到复值 f(x) = Re(f(x)) + i Im(f(x))。
Re(f(x)) 和 Im(f(x)) 中的每一个都是复变量的实函数。通过将 x = a + i b 表示为 (a,b) 平面中的一个点，以及沿第三维的函数值，例如 c，可以在 3D 中绘制此类函数。例如，f(x) 的实部和虚部有 the following graphs。
水平面 c = 0 处的两个曲面的横截面为 pairs of curves，其中每个函数分别为零。因此，这些曲线的交点是 Re(f(x)) = Im(f(x)) = 0 处的点，这意味着它们是方程 f(x) = 0 的根。
由于f(x) = 0是二次方程，所以必定有两个根，而这两个点实际上就是±(0.877659 - 0.142424 i)，直接计算可以验证。