问题描述
我刚刚开始了一门 DSP 课程，正在尝试了解全局。
据我所知，数字信号处理中经常需要近似信号。所以，假设我有一个由 N 个样本组成的向量，假设我想从这些样本中重新创建原始信号。我去 MATLAB，绘制样本，并找到一个函数（或一系列函数），它看起来与样本向量相当接近。然后我尝试找到一个权重向量 c，该向量可以调整该函数，从而将它与样本向量之间的最小二乘误差减小到最小。
正交性的概念如何帮助我努力找到这个近似函数？
谢谢
解决方法
这是一个编程网站，您可能会在其他地方得到更好的答案，例如 here
但这是我的两便士。 假设在你的例子中你想找到权重 w[] 以便， 如果你的信号是 f 并且你选择的函数是 b[],
|| f - Sum{ w[i]*b[i]} || is minimised
通常要做到这一点，您需要计算内积
A[i,j] = <b[i]|b[j]>
F[i] = <b[i]|F>
然后解决
A*w = F
虽然用合适的语言很容易做到，但如果函数 b[] 是正交的，那就更容易了，因为矩阵 A 是对角的，我们可以直接写出解决方案：
w[i] = F[i]/A[i,i] = <b[i]|f> / <b[i]|b[i]>
使用正交基还有其他优点。
假设您不确定需要使用多少个基函数。例如，您可能想知道，如果只使用 b[] 的某个子集就足够了。如果 b[] 不是正交的，您将需要重新求解权重：例如 b1 b[2] 和 b[3] 的最佳权重与 b{ 的前三个权重不同{3}} .. b[7]。然而，如果 b[] 是正交的，那么 b1 b[2] 和 b[3] 的最佳权重确实与 b1 .. b[7] 的前三个权重相同]。 这简化了选择使用哪个 b 的过程。
另一个问题是数值稳定性，在这种情况下，这归结为求解权重引入了多少误差。一般来说，当使用正交基时，这会更少，有时会更少。