在多项式时间内找到哈密顿路径的可能解决方案

问题描述

我最近在考虑一种可能的解决方案，在多项式时间内找到无向图是否具有哈密顿路径。

用作此实现一部分的主要概念基于我注意到的一个观察结果 试图找到（即在纸上）几个无向图的哈密顿路径。

步骤可以定义如下：

1. 读取图的邻接矩阵。

2. 在读取邻接矩阵时，将为所有节点创建一个映射（即基于字典的结构）。此外，路径的起始节点将被选择，而邻接矩阵 正在阅读。这些操作可以描述如下：
   
   

   2.1.映射将存储图中的所有节点，作为键值结构。

   映射中的每一个条目将表示为：（键：节点索引，值：节点类）

   节点类将包含有关节点的以下详细信息：节点索引、事件数量 到它的边，以及指示当前节点是否已经被访问过的标志。

   考虑到地图中的每个条目将只包含值 对应于该节点，可以说对给定节点从映射中进行的任何读取访问 索引将是常数（即 O(1)）。
   
   

   2.2.作为在步骤 2.1. 中读取邻接矩阵和构建地图的一部分，起始 节点也将被保留。路径的起始节点将由以下节点表示 具有最少的边数。

   如果图中存在多个具有该属性的节点，则索引最低的节点 号码将被选中。在这种情况下，我们可以假设每个节点都有一个索引 与其关联，从零开始：0、1、2 等。
   
   

3. 在步骤 2.2 中确定的起始节点。将被标记为已访问。

4. 接下来的操作将针对其余节点进行。循环将在以下任一时间结束 访问节点的数量等于图中的节点数量，或者当没有 为当前节点找到了一个未访问的相邻节点。

   因此，接下来的步骤将作为此循环的一部分进行：
   
   

   4.1.第一个操作是寻找下一个要访问的节点。

   要访问的下一个节点必须遵守以下约束：

   • 对当前节点有一条边
   • 到目前为止还没有访问过
   • 与其他相邻节点相比，具有最少数量的边缘 到当前节点。
     
     

   4.2.如果没有找到下一个节点，那么算法将结束并指示没有 找到了哈密顿路径。
   
   

   4.3.如果找到了下一个节点，则这将代表当前节点。会被标记 作为访问过的，访问节点的数量将增加。
   
   

5. 如果访问节点的数量等于图中节点的数量，那么哈密顿量 路径已经找到。无论哪种方式，都会根据算法的结果显示一条消息。

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实现/测试可在 GitHub 上获得：https://github.com/george-cionca/hamiltonian-path

我的主要问题是：

1. 是否存在会导致该算法无法生成正确解的无向图？
2. 在存储库的页面上，我包含了更多详细信息，并指出此实现提供了二次时间（即 O(n²)）的解决方案。有没有我没有考虑到时间复杂度的方面？

解决方法

算法不能保证找到正确答案

据我所知，您的算法是一种启发式贪婪算法。即，路径从度数最低的顶点开始，继续向度数最低的未访问顶点（或到达未访问节点的边最少的顶点）继续。

如果度数最低的顶点不是正确的顶点，则会失败。

例如，考虑一个具有单个顶点 v1 的图，该顶点通过两条边连接两个大的完整图。然后我们有连接到 v2 和 v7 的顶点 v1，我们有顶点 {v2,v3,v4,v5,v6} 和 {v7,v8,v9,v10,v11}，两个集合完全连接。

哈密顿路径当然存在，因为我们可以覆盖一个集群，移动到另一个并清除那个集群。但是，您的算法将从 v1 开始，无法找到路径。

解决著名问题的笔记

您不会注意到哈密顿路径问题是NP-完全的。当您提出一个多项式时间算法来解决问题时，正确性意味着您已经证明了 P=NP。这是极不可能的。当您似乎已经证明了一些著名的未解决且普遍认为是错误的事情时，我建议您稍微降低您的期望，并寻找您可能犯的错误，而不是寻找算法是否有效的验证。在这种情况下，您可能已经查看了算法的隐含假设（例如最低度顶点是有效的起点）并试图为这种直觉想出一个反例。