问题描述
我有一组二次系数 a、b 和 c，需要求解它们才能确定平面上两个图（比如抛物线和直线）的交点。
然而，我的问题是，当我的抛物线如此“伸展”以至于它开始表现得像一条围绕感兴趣区域的线时，似乎忽略了 a 系数，而是线性求解 b 和 c 效果很好。
我的问题是，你在什么时候决定线性求解二次方程？推而广之，你什么时候应该二次求解三次方程？
当然，二次方实际上有 2 个根，但是（从计算机的角度来看，出于所有强烈和目的）只有 1 个根。
编辑：
我在数学堆栈交换上为这个问题添加了更多细节，但我仍然觉得因为这与数值不稳定有关，所以我应该在这里问。这是数学问题，措辞略有不同：https://math.stackexchange.com/questions/4000135/quadratic-formula-fails-numerically-at-small-a-coefficients
解决方法
事实证明这个问题比我想象的更常见。相关答案已发布在我链接的数学线程中，但您也可以查看这篇相当简单的一页纸。 https://people.csail.mit.edu/bkph/articles/Quadratics.pdf
,牛顿的想法是围绕三次方程的根的猜测 x 展开
0 = (x+h)^3 + a*(x+h)^2 + b*(x+h) + c
= x^2+a*x^2+b*x+c + (3*x^2+2*a*x+b)*h + ...
并采用常数项和线性项来确定根的改进 h（在这种一般情况下，该方法仅在几十年后由 Raphson 和 Simpson 制定）。
Halley 在计算以他命名的彗星时，有一个想法，也采用泰勒展开式的二次项并使用二次解公式。转换平方根的泰勒展开或除法会产生现代哈雷方法、拉盖尔方法和 (Euler-)Chebyshev 方法，所有这些都是三阶的。在有多个解的公式中，选择给出最小 h 的那个。