问题描述
我一直在阅读有关插值的不同方法，例如-this article。它建议使用 barycentric_lagrange 而不是拉格朗日，因为它更稳定，运行时间为 O(n) 而不是 O(n^2)。这一切都很好，但我想知道它与拉格朗日本身有何不同。 我正在寻找的是对重心和传统拉格朗日之间差异的定性解释。 我曾尝试查看 mathematical papers 的相关内容，但数学计算并不容易。
“权重”是否只是一种加权接近您正在插入的点的方法？要是这么简单就好了。
解决方法
我通过一些实验发现重心拉格朗日并没有像我希望的那样“加权”点。如果您的输入数组很大（即它仍然试图构造 n 次多项式），它仍然非常不稳定。 当值较大时，重心具有稳定性改进。 如果您的 x 和 y 接近 0，拉格朗日是好的。所以 x = [20000,20001,20002] 将远不如 [0,1,2] 稳定。因此，重心中的权重只是将值缩放到 0 的一种方式。 所以拉格朗日插值如下：
x_scaled = x - x[0]
y_scaled = y - y[0]
polynomial = scipy.lagrange(x_scaled,y_scaled)
interp_y = polynomial(interp_x - x[0]) + y[0]
等同于：
interp_y = scipy.barycentric_interpolate(x,y,interp_x)
很明显，第二个在代码中实现要容易得多，而且它们给出了相同的结果。