问题描述
log() = log base 2 of ()log()^2 = log^2 base 2 of ()
我被这个归纳证明困住了。我有以下递归关系
T(n) = T(n/2) + Theta(log(n))
我必须证明T(n) = O(log(n)^2)
使常量显式：
T(n) = T(n/2) + clog(n)
我知道对于 O 的定义，我必须找到 k > 0 和 n' > 0，这样对于每个 t(n) <= k(log(n)^2)
n >= n' 假设为 true 对于每个 T(n) = O(log(n)^2) 我有 m < n 为 true :
给定t(m) <= k(log(m)^2)T(n) <= k(n/2)(log(n/2)^2) + c log(n) == k(n/2)(log(n)^2 - 1) + c log(n) .
所以
= k(n/2)(log(n)^2)) - kn/2 + c log(n)
我找不到任何 k(n/2)(log(n)^2) - kn/2 + c log(n) <=? k(log(n)^2) 或 k 可以使它起作用，我哪里做错了？
解决方法
对于我们选择的某个固定 α,M > 0 就足以表明 T(n) ≤ α (log(n) + 1) log(n) + M，因为这个函数是 O(log(n) ²）。你没有给我们一个基本情况，所以让我们假设这对于足够小的 n 成立（通过根据需要设置 M 不失一般性）。
归纳步骤表明 T(n/2) ≤ α (log(n/2) + 1) log(n/2) + M 意味着 T(n) ≤ α (log(n) + 1) log(n) + M。我们有
T(n)
= T(n/2) + c log(n)
≤ α (log(n/2) + 1) log(n/2) + M + c log(n)
= α log(n) (log(n) − 1) + M + c log(n).
如果我们设置α=c/2，那么
T(n)
≤ α log(n) (log(n) − 1) + M + 2 α log(n).
= α (log(n) + 1) log(n) + M.