函数交集逼近

问题描述

设 f1 和 f2 为 [a,b] 范围内的两个函数，maxerr 为所需的近似值。它们在这个范围内既可微又连续。我应该返回一个近似交集 Xs 的迭代，这样： ∀x∈Xs，|f_1(x) - f_2(x)|

例如函数的签名应该是：

def intersection(self,f1: callable,f2: callable,a: float,b: float,maxerr=0.001) -> callable:

在不使用直接查找交集的库方法的情况下，最有效的方法是什么？

注意事项：

• Python 3.7
• 禁止的内置函数：求函数的根和交集、插值、积分、矩阵分解、特征向量和求解线性系统。

现在我的代码如下：

def intersection_recursive(f1,f2,a,b,maxerr,X,start_time,timeout,side_flag):
  f = f1 - f2
    startX = a
    endX = b
    while not f(startX) * f(endX) < 0 and time.time() < start_time + timeout:
        startX = random.uniform(a,b)
        endX = random.uniform(startX,b)
    mid = (startX + endX) / 2
    while not abs(f(mid)) < maxerr and time.time() < start_time + timeout:
        if f(startX) * f(mid) < -1:
            endX = mid
        else:
            startX = mid
        mid = (startX + endX) / 2
    if abs(f(mid)) < maxerr:
        X.append(mid)
    else:
        return X
    if side_flag:
        return intersection_recursive(f1,mid,not side_flag)
    else:
        return intersection_recursive(f1,not side_flag)

def intersection(self,maxerr=0.001) -> callable:
   timeout = 10
   X = []
   start_time = time.time()
   intersection_recursive(f1,True)
   return X

解决方法

下面的答案是对原始问题的回答，其中没有对函数进行任何假设...

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没有关于函数的任何额外信息，没有免费午餐定理适用，任何搜索策略都与其他任何策略一样有效。

也就是说，如果有足够的时间，simple quasirandom sequence 在每个细节级别统一覆盖所有 [a,b]。

顺便说一下，我认为您的函数签名不正确，它应该返回一个可迭代对象。

from typing import Callable,Iterable

def intersection(f1: Callable[[float],float],f2: Callable[[float],a: float,b: float,maxerr: float=0.001) -> Iterable[float]:
   a,b = sorted([a,b])
   invphi = 2 / (1 + 5**0.5)
   t = 0.5
   while True:
       x = a + (b-a)*t
       if abs(f1(x) - f2(x)) < maxerr:
           yield x
       t = (t + invphi) % 1.0