根上已知边界的牛顿法

编程问答 2022-05-26

问题描述

我有一个方程 f(x)=y 具有以下属性：

  • 我们有导数 f' 的显式表达式
  • 已知根在 0 和 1 之间（实际上 f 仅在此区间内定义）
  • f 正在（微弱）增加

我目前正在用 scipy.optimize.brentq 求解这个方程，效果很好。

optimize.brentq(f_to_zero,1)

brentq 使用割线法，这是牛顿法的有限差分等效法；它不使用任何明确的 f'。

我希望通过使用这个导数可以更快地找到根。换句话说，我想使用带有边界增强的牛顿方法；这个 article 提出了以下想法：如果在任何时候牛顿猜测落在边界之外，则执行二等分（在当前猜测和边界之间）。是否有任何经过良好测试的软件包？我真的宁愿不编写自己的实现（为了提高性能可能不值得）。

另一点是函数甚至没有定义在边界之外，所以使用

optimize.newton(f_to_zero,fprime=f_prime,x0=0.5)

不仅效率低下，还会抛出错误

有人问f'的表达式是什么。 f 和 f' 很长，所以我在这里做了要点：https://gist.github.com/d3c48dde09389e8c48da0e990b57bf99

解决方法

如果您限制自己使用 scipy 优化器，您可以将其转换为具有目标函数 f(x)2 的最小化问题，并使用 fmin_tnc 优化器，该优化器使用牛顿方法并增加了边界： 

fsq = lambda x : f(x) ** 2
fsqprime = lambda x : 2 * f(x) * fprime(x) 
optimize.fmin_tnc(fsq,x0 = [0.5],fprime = fsqprime,bounds = [(0,1)])
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