可构建的 DFA 数量 严格的 5 个州同构

问题描述

给定字母表 {0,1} 上的 5 个状态，可以构造多少个 DFA。鉴于初始状态不是固定的。

解决方法

对于字母表中的每个符号，DFA 最多可以有一个转换。因此，我们可以通过为状态分配所有有效选项来枚举 DFA。

我将使用以下表示法，例如，一个 2 元组的 5 元组，其目标是 {0,1} 中的符号。

((None,4),(4,3),(1,None),(None,0),(3,3))

这给你一个 FST，它从状态 0 进入状态 4（符号 1），从状态 4 可以进入状态 3 到状态（符号 0 或 1），然后从那里回到状态 0（符号 1） 1）。但这并没有连接，没有使用所有的5个状态。如果您计算所有此类 DFA，答案是 (6^2)^5 = 60466176，因为对于每个符号都可以带您进入 5 个状态之一或从给定状态（公式中的 6 个）中丢失，有两个符号（公式中为2），并且有5个状态（公式中为5个指数）。

严格的 5 个州

如果我们想要一个可以生成 5 个状态的 FST，并且所有状态都可以到达，那么我们可以生成上述 FST 并过滤那些连接的。

def is_connected(dfa):
    N = len(dfa)
    reached = [False] * N
    nReached = 0
    stack = [0]
    while len(stack):
        s = stack.pop()
        
        if not reached[s]:
            reached[s] = True
            nReached += 1
            if nReached == N:
                return True
            t,u = dfa[s]
            if t is not None:
                stack.append(t)
            if u is not None:
                stack.append(u)
    return False

import itertools
all_dfas = list(itertools.product(
             list(itertools.product([None,1,2,3,4],repeat=2)
             ),repeat=5))

num_connected = sum(1 if is_connected(dfa) else 0 for dfa in all_dfas[:])

它给出了 15184800。

同构

您可以尝试找到与重新标记状态相同的 DFA，因为这不会改变 DFA 定义的语言，通常我们只关注转换而不是状态，但情况似乎并非如此因为您要求考虑所有可能的初始状态。