PuLP：如何编写多变量约束？

编程问答 2022-05-26

问题描述

我正在尝试用 Python 解决 this optimization problem。我使用 PuLP 编写了以下代码：

import pulp
D = range(0,10)
F = range(0,10)
x = pulp.LpVariable.dicts("x",(D),1,pulp.LpInteger)
y = pulp.LpVariable.dicts("y",(F,D),pulp.LpInteger)
model = pulp.LpProblem("Scheduling",pulp.LpMaximize)
model += pulp.lpSum(x[d] for d in D)
for f in F:
    model += pulp.lpSum(y[f][d] for d in D) == 1
for d in D:
    model += x[d]*pulp.lpSum(y[f][d] for f in F) == 0
model.solve()

此处最后一行返回：TypeError: Non-constant expressions cannot be multiplied。我知道它正在返回这个，因为它无法解决非线性优化问题。是否可以将这个问题表述为适当的线性问题，以便可以使用 PuLP 解决？

解决方法

从数学模型开始总是一个好主意。你有：

  min sum(d,x[d])
  sum(d,y[f,d]) = 1   ∀f
  x[d]*sum(f,d]) = 0 ∀d
  x[d],d] ∈ {0,1}

最后一个约束是非线性的（它是二次的）。这不能由 PuLP 处理。约束可以解释为：

  x[d] = 0 or sum(f,d]) = 0 ∀d

或

  x[d] = 1 ==> sum(f,d]) = 0 ∀d

这可以线性化为：

  sum(f,d]) <= (1-x[d])*M

where M = |F|（F 中的元素数，即 |F|=10）。您可以检查：

 x[d]=0 => sum(f,d]) <= M (i.e. non-binding)
 x[d]=1 => sum(f,d]) <= 0 (i.e. zero)

所以你需要用这个线性约束替换二次约束。

请注意，这不是唯一的公式。您还可以将单个项 z[f,d]=x[d]*y[f,d] 线性化。我将把它留作练习。

linear-programmingmathpulppython