如何使用 OpenMDAO 求解线性方程组而不求 A 矩阵的求逆？

问题描述

我有一个如下形式的方程组：

Ax = b

其中 A 和 b 是已知状态和源自早期组件的状态速率的混合，x 是四个未知状态速率的向量。我已经使用 Matlab 将问题线性化，我现在需要做的就是创建一些组件来查找 x。但是，就每个索引中的变量数量而言，A 的倒数很大，因此我不能将它们变成一个简单的线性方程。有人可以建议路线吗？

解决方法

我不完全理解您所说的“就每个索引中的变量数量而言 A 的倒数很大”是什么意思，但是我认为 A 的倒数的意思是计算和存储更大且更密集记忆中。

OpenMDAO 与否，当您遇到这种情况时，您将不得不使用诸如 gmres 之类的迭代线性求解器。所以这也是这里所需要的方法。

OpenMDAO 确实有一个 LinearSystemComponent，您可以在此处将其用作粗略的蓝图。但是，它确实计算了分解并存储了它，这不是您想要的。无论如何，它为您提供了如何在 OpenMDAO 中将线性系统表示为 implicit component 的蓝图。

从广义上讲，您必须考虑定义线性残差： R = Ax-b = 0

您的组件将有两个输入 A 和 b，以及一个输出 x。

这里的两个关键方法是 apply_nonlinear 和 solve_nonlinear。我意识到方法名称中的单词 nonlinear 令人困惑。 OpenMDAO 假设分析是非线性的。在您的情况下，它恰好是线性的，但您使用的 nonlinear 方法完全相同。

我会假设，虽然您不能计算/存储 [A] 逆，但您可以计算/存储 A（可能采用稀疏格式）。在这种情况下，您可以将 [A] 的稀疏数据数组作为输入传递，并根据需要从中填充稀疏矩阵。

apply_nonlinear 方法如下所示：

def apply_nonlinear(self,inputs,outputs,residuals):
        """
        R = Ax - b.
        Parameters
        ----------
        inputs : Vector
            unscaled,dimensional input variables read via inputs[key]
        outputs : Vector
            unscaled,dimensional output variables read via outputs[key]
        residuals : Vector
            unscaled,dimensional residuals written to via residuals[key]
        """
        
        residuals['x'] = inputs['A'].dot(outputs['x']) - inputs['b']

您问题的关键实际上是solve_nonlinear method。它看起来像这样 (using scipy gmres):

def solve_nonlinear(self,outputs):
        """
        Use numpy to solve Ax=b for x.
        Parameters
        ----------
        inputs : Vector
            unscaled,dimensional output variables read via outputs[key]
        """
    
        
        x,exitCode = gmres(inputs['A'],inputs['b'])

        outputs['x'] = x