eigh() 和 svd 不会给出相同的结果

问题描述

考虑奇异值分解 M=USV*。然后 M* M 的特征值分解给出 M* M= V (S* S) V*=VS* U* USV*。我希望通过显示 eigh 函数返回的特征向量与 svd 函数返回的特征向量相同来验证 numpy 的这种相等性：

# svd
U1,S1,V1=np.linalg.svd(M) 
S1=np.square(S1)
V1=V1.T

# eig
S2,V2=np.linalg.eigh(np.dot(M.T,M))
indx=np.argsort(S2)[::-1]
S2=S2[indx]
V2=V2[:,indx]

当我执行这段代码时，向量只是一个符号不同。示例：-

v1 = array([[-0.33872745,0.94088454],[-0.94088454,-0.33872745]])

and for v2:
v2 = array([[ 0.33872745,-0.94088454],[ 0.94088454,0.33872745]])

为什么特征向量中会出现这种差异，如何解决？ 任何帮助表示感谢提前感谢您！！

解决方法

特征向量在符号改变之前是唯一的（参见 https://math.stackexchange.com/questions/235396/eigenvalues-are-unique）。

符号唯一性是因为 $$ A u = \lambda $$ 也适用于 $$ A (-u) = \lambda) (-u) $$。