递归算法复杂度？

编程问答 2022-05-23

问题描述

我之前有以下问题：

给定一个递归算法T(n)，找到一个函数f(n)，其中 T(n)=\theta( f(n) )。

注意： k 是常数且 3，对于 n， T(n)=0。

T(n)=\left(\sum_{i=1}^{\log n} T\left(\left\lfloor \frac{n}{k^i} \right\rfloor\right)\right) + n

我该如何解决这样的问题？

解决方法

好吧，我不会展示我所有的步骤。这是您的家庭作业问题，但这里有一个概述：

  • 基于递归定义，我们可以分解求和：

    T(n) = 
    n 
  + T(floor(n / k)) 
  + T(floor(n / k ^ 2)) 
  + ... 
  + T(floor(n / (k ^ log(n))))

  • 那么由此，我们可以得到一个迭代定义：

      T(n) = 
      n 
      + floor(n / k) 
      + 2 * floor(n / k ^ 2) 
      + ... 
      + 2 ^ (log(n) - 1) 
          * floor(n / k ^ (log(n)))

    或

    T(n) = 
  n 
  + Sum(
      floor(n / k ^ i) * 2 ^ (i),i=1,log(n)
  ) / 2

您的问题需要大 Theta。这意味着我们需要找出一个上限和下限。

  • 上限：floor(x) <= x，所以我们放下地板并简化：

    O(
    n + n / (k - 2)                       <-- O(n)
    + (n * (2 / k) ** log(n)) / (k - 2)
)

    因为 k > 3 > 2，最后一项保证增长小于 n，所以我们剩下 O(n)。

  • 下限：总是 Sum(...) > 0，所以我们可以只用 n 将其绑定在下面，给出 Omega(n)。

因为T对于O(f(n))既是Omega(f(n))又是f(n) = n，所以我们可以说它也是Theta(n)，所以答案是

f(n) = n

这是一个演示上限和下限的程序。该程序不等同于证明，但它可以帮助您了解正在发生的事情。我以指数方式增长 n，因此如果您在对数刻度上绘制值，它应该显示线条和渐近行为。

const k = 4;
const logK = Math.log(k);

function T(n) {
  if (n <= 1)
   return 0;
  
  let acc = n;
  for (let i = 1; i <= Math.log(n) / logK; i++)
    acc += T(Math.floor(n * k ** -i));
  
  return acc;
}

function nonRecT(n) {
  let acc = n;
  for (let i = 1; i <= Math.log(n) / logK; i++) {
    let f = Math.floor(n * k ** -i);
    acc += f > 1 ? f * 2 ** (i - 1) : 0;
  }
  return acc;
}

for (let n = k; n <= k ** 20; n *= k) {
  console.log([
    n,T(n),nonRecT(n),n * (1.5 + 1 / (k - 2))
  ].join('\t'));
}

algorithmbig-orecursiontime-complexity